Vektor představuje veličinu, která má kromě velikosti i směr. Tím se liší od obyčejného čísla, neboli skaláru, které má pouze velikost.
Než přejdeme k vektorům, budeme muset nejdříve trochu probrat souřadnicový systém, což je místo, kde se vektory obvykle zapisují. Zvolíme počátek souřadnicového systému a ten označíme souřadnicí 0. Tímto bodem budeme dále vést přímky – osy souřadnic. Osa bývá buď jedna (jedna se pak o jednorozměrnou přímku), ale obvykle bývají dvě (rovina) nebo tři (prostor). Tyto osy jsou na sebe kolmé. V rovině se vodorovná osa značí x a vertikální y. Poslední osa se v prostoru nazývá z. Teď ještě zvolíme jednotky na osách a máme vystaráno.
Právě jsme vytvořili kartézskou soustavu souřadnic. Proč kartézskou? Je to podle kartézského součinu. Kartézský součin se obvykle definuje pomocí množin. Máme-li dvě množiny, kartézským součinem dostaneme množinu uspořádaných dvojic, které získáme, když každý prvek z jedné množiny dáme do uspořádané dvojice s každým prvkem z druhé množiny. Zkusím ukázat na příkladu. Máme tyto dvě množiny: A={1, 2} a B={3, 4}. Kartézským součinem těchto dvou množin dostaneme: A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}. Jasné? Zkrátka vezmete jeden prvek z jedné množiny a vrazíte ho na začátek uspořádané dvojice. K němu dáte první prvek z druhé množiny. Pak druhý prvek z druhé množiny a tak dokola, až tam dáte všechny. Pak si vezmete druhý prvek s první množiny a postupně k němu zase dáváte všechny prvky z druhé množiny.
V praxi pak jsou výsledkem kartézského součinu všechny souřadnice, které můžete v rovině sestrojit. Třeba [54, 87]. První souřadnice je brána z osy x (první množina) a druhá souřadnice z osy y (druhá množina). Je to jedna z mnoha uspořádaných dvojic po kartézském součinu prvků na ose x s prvkami na ose y.
K samotné definici vektoru ještě budeme potřebovat pojem orientovaná úsečka, což je úsečka, která má určený počáteční a koncový bod. Není na tom nic nepochopitelného. Vektorem potom nazýváme množinu všech souhlasně orientovaných úseček stejné délky. Tak a je to venku. Překvapeni? No nic, zpět k tématu.
Vektor se obyčejně značí šipkou, asi nějak takto:
Matematicky se obvykle vektor zapisuje pomoci nějakého písmene (nejčastěji u nebo v) a nad tím se kreslí šipka. Nicméně zde na webu budu pro jednoduchost vektory odlišovat pomocí ztučnění: u → toto je vektor u.
Nyní si znova přečtěte předchozí definici vektoru. Zjistíte, že vektor nikdy není jeden, vektor je už sám o sobě množina. Vezmete-li náš předchozí vektor u a jen ho posunete o kousek doleva, doprava, nahoru či dolů, bude to stále jeden a tentýž vektor. Všechny vektory na následujícím obrázku jsou stejné:
Velikost vektoru je poměrně jednoduchá, rovná se délce úsečky, tvořící vektor. |u| = |AB|. Nulový vektor 0 je každý vektor, který má velikost nula.
Kolineární vektory jsou takové různé vektory, které jsou rovnoběžné. Jediný rozdíl mezi těmito vektory je, že mají jinou velikost (pokud by měly kolineární vektory stejnou velikost, byl by to jeden a tentýž vektor). Ukázka kolineárních vektorů je na následujícícm obrázku:
Vzhledem k tomu, že jeden vektor lze vyjádřit nekonečně mnoha zobrazeními, se před samotným určením souřadnic přesouvá vektor tak, aby vycházel z počátku. Jakoukoliv z výše zobrazených šipek můžete přesunout tak, že bude mít počátek na souřadnicích [0, 0] a bude to stále jeden a tentýž vektor. Šipka potom směřuje do roviny a připomíná hodinovou ručičku :-). Výhoda tohoto postupu je, že odpadá nutnost psát jednu souřadnici šipky, protože ta je vždy [0, 0]. Zapisuje se vždy pouze ta druhá souřadnice – souřadnice bodu, kde šipka končí. Předcházející skupinu vektorů lze zobrazit i tímto vektorem, jeho souřadnice budou u = (1, 1).
Teď matematický způsob určení souřadnic vektoru. Vycházíme z toho, že známe souřadnice bodů A, B, které určují vektor u. Mějme tedy vektor u, určený body A [1, 2] a B [5, 4]. Vektor by vypadal takto (slaběji nakreslený vektor představuje vektor přesunutý na počátek souřadnicového systému – tento vektor hledáme):
Když se kouknete na obrázek, zjistíte, že jsme tu orientovanou úsečku posunuli o jednu jednotku doleva. Přesně o tu vzdálenost, která je mezi bodem A a osou y, což je právě x-ová souřadnice bodu A Tedy od x-ové souřadnice bodu B odečteme x-ovou souřadnici bodu A a získáme novou x-ovou souřadnici námi hledaného vektoru. Totéž provedeme s ypsilonovou souřadnicí. Vektor u tudíž bude mít souřadnice u = (5 − 1, 4 − 2) = (4, 2).
Obecný vzorec pro určení souřadnic vektoru v rovině by zněl takto: u = AB; u = (x2 − x1, y2 − y1), kde A[x1, y1], B[x2, y2].
Když už známe souřadnice vektorů, můžeme snadno vypočíst jejich velikost. Podle Pythagorovy věty docela snadno odvodíme, že velikost vektoru v rovině je |u|=√(u12 + u22). Na následujícím obrázku jasně vidíme, že souřadnice vektoru se shodují s délkami stran námi vytvořeného trojúhelníka a že po aplikování pythagorovy věty opravdu lehce spočteme velikost vektoru.
Máme-li vektor u = (3, 4), jeho velikost bude √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5.
A nyní následují dva příklady na procvičení probírané látky.
Určete souřadnice vektoru u zadaného body A[3, 7], B[−1, 0].
Zde je postup naprosto jednoduchý a přímočarý. u = (u1, u2).
u1 = −1 − 3 = −4 a u2 = 0 − 7 = −7. Vektor má tedy souřadnice u = (−4, −7).
Postavíme si opět naši starou známou rovnici a z ní jen osamostatníme neznámou:
u1 = x1 − 6 x1 = u1 + 6 x1 = 2 + 6 x1 = 8
Druhou souřadnici zjistíme identickým postupem:
u2 = x2 − 6 x2 = u1 + 6 x2 = 3 + 6 x2 = 9
Bod B má souřadnice [8, 9].
Nejprve se podíváme na sčítání vektorů. Chceme-li sečíst dva vektory, zobrazíme je do počátku souřadnicového systému a následně doplníme na čtyřúhelník a uhlopříčka začínající v počátku bude výsledný vektor. Samozřejmě je připraven ilustrativní obrázek:
Matematicky je součet vektorů triviální záležitost. Zcela logicky posčítáte jednotlivé souřadnice dvou vektorů a máte výsledek. Schematicky: u + v = (u1 + v1, u2 + v2). S čísly: u = (3, 5), v = (4, 1) → u + v = (3 + 4, 5 + 1) = (7, 6). Pokud odečítáte vektor, je to totéž, jako byste přičetli opačný vektor (opačný vektor k vektoru (u1, u2 je vektor −u1, −u2).
Násobení vektoru číslem je další jednoduchá operace. U vektorů je všechno jednoduché a intuitivní :-). Máte-li vektor u a chcete ho vynásobit číslem k, dostanete vektor u' = (k·u1, k·u2). Takže pokud máme vektor v = (17, 12) a chceme ho vynásobit trojkou, dostaneme v' = (51, 36).
Skalární součin je už trošičku obtížnější, ale opravdu jen o pidikousíček. U skalárního součinu již počítáme se dvěma vektory, nikoli s vektorem a číslem jako v předchozím případě. Vzorec na skalární součin vypadá takto: u · v = u1v1 + u2v2. S čísly: u = (4, 1); v = (7, 2) skalární součin potom bude vypadat takhle: u · v = 4·7 + 1·2 = 30. Podstatné je, že výsledkem skalárního součinu je číslo. Tím nás vždycky dusila učitelka: „Co je výsledkem skalárního součinu?“ A kdo neřekl „číslo“, měl malou pětečku :-). Poměrně důležité také je, že pokud je výsledkem skalárního součinu dvou vektorů nula, vektory jsou na sebe kolmé!
Postupovat budeme takto: namísto přímek si dosadíme vektory, které normálně určíme z bodů a následně uděláme skalární součin. Pokud bude skalární součin rovný nule, jsou na sebe přímky kolmé. První přímka je AB, vytvořme tudíž vektor u ze stejných bodů. Souřadnice vektoru zjistíme snadno:
u1 = B1 − A1 u1 = 2 − 1 u1 = 1 u2 = B2 − A2 u2 = 4 − 1 u2 = 3
Vektor u má souřadnice (1, 3). Teď druhý vektor, v, ten poskládáme z bodů AC:
v1 = C1 − A1 v1 = 4 − 1 v1 = 3 v2 = C2 − A2 v2 = 0 − 1 v2 = −1
Vektor v má souřadnice (3, −1). Provedeme skalární součin:
u · v = 1·3 + 3·(−1) = 0
Skalární součin vyšel nula, takže přímky jsou na sebe kolmé. Kdyby někdo nevěřil, přidávám i grafické znázornění problému:
