Výroková logika
Výroková (matematická) logika je vyjadrovací prostredek matematiky, s nímž sa môžeme setkat v rôzné terminologii a vo všemožných matematických schématech.
Výrok
Základem výrokové logiky je pochopitelne výrok. Výrokem je každá oznamovací veta, u které môžeme určit její pravdivostní hodnotu. Príklady jednoduchých výrokô:
- Venku prší.
- Číslo pet je liché.
- HTML je programovací jazyk.
- Dva plus tri je šest.
Toto všechno sú výroky. Ať už sú pravdivé (první dva) alebo sú nepravdivé (poslední dva). Výrokem nie je napríklad tázací veta alebo veta, u které nemôžeme jednoznačne určit její pravdivostní hodnotu. Opet príklad:
- Bude zítra pršet?
- Zelená barva je nejkrásnejší.
První veta nemôže být výrok, pretože je to tázací veta, u druhé vety zase neurčíme, jestli je to pravdivý výrok alebo nepravdivý. Taková veta sa pak nazývá hypotéza (domnenka).
Tyto jednoduché výroky môžeme dále znegovat, tzn. obrátit pravdivostní hodnotu. Napríklad negace prvních čtyr výrokô napsaných výše by vypadaly takto:
- Venku neprší.
- Číslo pet je sudé číslo.
- HTML nie je programovací jazyk.
- Dva plus tri nie je šest.
Složený výrok
Jednoduché výroky sa označují velkými písmeny A, B atd. Z techto jednoduchých výrokô pak môžeme pomoci logických spojek (symbolô) vytvorit složený výrok. Známe čtyri základní logické spojky:
- A
B je konjunkce výrokô, čteme „výrok A a (zároveň)
výrok B“ - A
B je disjunkce výrokô, čteme „výrok A alebo výrok B“ - A
B je implikace, čteme „jestliže výrok A, pak výrok B“ - A
B je ekvivalence, čteme „výrok A práve tehdy keď výrok B“
Konkrétní príklady:
- konjunkce: „Vyhodíme Hornovou a zrušíme BigBrothera.“
- disjunkce: „Vyhodíme Hornovou alebo zrušíme BigBrothera.“
- implikace: „Jestliže vyhodíme Hornovou, pak zrušíme BigBrothera.“
- ekvivalence: „Vyhodíme Hornovou práve tehdy, keď zrušíme BigBrothera.“
Stejne ako môžeme určit pravdivostní hodnotu u jednoduchých výrokô,
môžeme to samé zjistit u složených výrokô. Začneme tím
nejjednodušším – konjunkcí. Už zo samotné slovní spojky „a
(zároveň)“ musí být jasné, že jestliže má být celý výrok AB
pravdivý, musí být pravdivé oba výroky A i B.
Podívejte sa na tuto vetu – „Vyhodíme Hornovou a zrušíme BigBrothera“ – je z ní jasne cítit, že celá veta bude pravdivá, ak oba dílčí výroky – „Vyhodíme Hornovou“ – a – „zrušíme BigBrothera“ – budú pravdivé. Ak by byl pravdivý len jeden výrok, napríklad Lenka Hornová by byla vyhozena, ale BigBrother by nebyl zrušen, celý složený výrok (celá konjunkce) by byl nepravdivý.
Další je disjunkce. I tu spojka alebo pomáhá určit, kdy je výraz pravdivý a kdy ne. Zde je celý složený výraz pravdivý, ak je alespoň jeden z výrokô pravdivý. Opet sa podívejte na predchozí príklad disjunkce – „Vyhodíme Hornovou alebo zrušíme BigBrothera“. Tento složený výrok by nebyl pravdivý len v tom prípade, keby Lenka Hornová nebyla vyhozena a BigBrother by neskončil.
Pravdivý je vo všech ostatních prípadech, takže keď chuderku Lenku vyhodí, ale nezruší BigBrothera, výrok bude pravdivý. keď Lenka zôstane, ale zruší sa BigBrother, opet bude složený výrok pravdivý, rovnako ako keď Lenku vyhodí a zruší BigBrothera.
Implikace už je trošičku složitejší. Zde je výrok pravdivý vždy, krome sitauce, kdy je první výrok pravdivý a druhý nepravdivý. Máme tedy danou vetu – „Jestliže vyhodíme Hornovou, pak zrušíme BigBrothera“. Takže to vezmeme poporade. keď budú oba výrazy pravdivé (Lenka bude vyhozena a bude zrušen BigBrother), tak bude celý výrok pravdivý. To je jasné. Druhý prípad. keď bude první výrok pravdivý (Lenka bude vyhozena), ale druhý výrok bude nepravdivý (BigBrother nebude zrušen), bude celý složený výrok nepravdivý, pretože nebyla splnena podmínka, že jestliže bude Hornová vyhozena, potom sa musí zrušit i BigBrother.
Poslední dva prípady už sú v podstate totožné. Pro prípad, kdy je první výrok nepravdivý, nie je zadána podmínka. Veta „Jestliže vyhodíme Hornovou“ už vlastne počítá s tím, že Lenka bude vyhozena, tudíž z této vety nemôžeme jednoznačne určit, čo sa má stát, keď Lenka vyhozena nebude. Proto, keď je první výrok nepravdivý, je implikace vždy pravdivá. Nezáleží na tom, zda je druhý výraz pravdivý (BigBrother byl zrušen) alebo nepravdivý (BigBrother nebyl zrušen).
Poslední logická spojka je ekvivalence. Zde je složený výrok pravdivý, ak sú oba výroky pravdivé alebo sú oba výroky nepravdivé. Takže ekvivalence „Vyhodíme Hornovou práve tehdy, keď zrušíme BigBrothera“ by byla pravdivá v prípade, že by Lenka byla vyhozena a zároveň zrušili BigBrothera. Nebo ak by Lenka vyhozena nebyla a zároveň by ani nebyl zrušen BigBrother. keby byla Lenka vyhozena a pritom by sledovanost byla vyšší než jeden milion, nebyl by složený výrok pravdivý, rovnako tak ako keby Lenka nebyla vyhozena, keď klesla sledovanost pod jeden milion.
Negace složených výrokô
Už som psal o negaci jednoduchých výrokô, na tom nie je nic težkého. U složených výrokô už človek musí trochu premýšlet. Negace sa obvykle značí buď takto ¬A alebo takto A'. Vetšinou ale vídám tento znak ¬, takže ho budem používat i tu. O negaci platí jedno jednoduché pravidlo: v prípadech, kdy je pôvodní složený výrok pravdivý, musí být znegovaný složený výrok nepravdivý.
Máme tedy výrok AB (konjunkce). Negaci konjunkce zapíšeme pomocou
kulatých závorek ¬(AB). Tento výrok môžeme také zapsat ako ¬A¬B.
Neboli slovne: mám výrok „Venku je teplo a svítí tam sluníčko“. Negace
tohoto výroku pak je výrok „Venku nie je teplo alebo tam nesvítí
sluníčko“. Všimnete si, že v prípadech, kdy je tento znegovaný výrok
pravdivý, je pôvodní výrok nepravdivý. Napríklad keď venku nie je teplo,
je znegovaný výrok pravdivý, ale pôvodní je nepravdivý.
Negace disjunkce AB je podobná predchozí negaci konjunkce: ¬A¬B.
Slovne by to potom vypadalo takto. Pôvodní výrok: „Pôjdu na koncert alebo
pôjdu do kina“. Znegovaný výrok: „Nepôjdu na koncert a nepôjde
do kina“.
Negace implikace ¬(AB) pak je (A ¬B) . Takže slovne: „Jestliže je
číslo pet liché, pak je číslo šest sudé“. Negace tedy bude vypadat
takto: „číslo pet je liché a zároveň je číslo šest liché“.
Poslední ekvivalence je o fous komplikovanejší. Zápis vypadá takhle:
¬(AB) negace: (A¬B) (¬AB). No, je to trochu delší :-) Slovne to bude
znít takhle: „Klára prijde práve tehdy, keď neprijde Jindrich“. Negace
tohoto složeného výroku: „Prijde Klára a zároveň prijde Jindrich alebo
neprijde Klára a neprijde Jindrich“.
Tabulka negací
| složený výrok | negace |
|---|---|
| A B | ¬A ¬B |
| A B | ¬A ¬B |
| A B | A ¬B |
| A B | (A ¬B) (¬A B) |