Posloupnosti a rady
Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina prirozených čísel N. Posloupnost delíme na nekonečnou ak je jejím definičním oborem celá množina N a konečnou, ak je jejím definičním oborem len prvních n čísel
Posloupnost môžeme určit nekolika rôznými zpôsoby. Prvním je prostý výčet prvkô. Napríklad jednoduchá posloupnost sudých čísel by sa výčtem dala zapsat takto: 2, 4, 6, 8, 10… Další možností je vzorec pre ntý člen. Stejná posloupnost by sa dala zapsat takto: an = 2n. Dolní index n nám značí, ktorý člen posloupnosti zrovna máme na mysli. Napríklad zápis a3 znamená tretí člen posloupnosti a podle uvedeného vzorce by tretí člen byl 2 * 3, což je šest a to je tretí sudé číslo. všetko tudíž sedí ako má. Nejveselejší obvykle bývá určení pomocou rekurze. Rekurze funguje tak, že určíte následující člen pomocou predchozího a prvního členu posloupnosti. Posloupnost sudých čísel tedy lze rekurentne zapsat takto: a1 = 2; an+1 = an + 2. Mimochodem znáte ten vtip o rekurzi? Ak chcete nyní zjistit druhý člen posloupnosti, jednoducho doplníte za n jedničku a počítáte: a1+1 = a1 + 2 po dosazení vyjde a2 = 2 + 2 a to sa rovná čtyrem. Což sedí, druhé sudé číslo je práve čtyri. Poslední možnost vyjádrení posloupnost je graficky. Grafem posloupnosti je vždy množina samostatných navzájem izolovaných bodô. Hezká ukázka ako takový graf vzniká najdete na stránkách UTB.
Nyní už prejdeme od obecných vecí ke konkrétním. Posloupnosti delíme do dvou skupin – aritmetické a geometrické.
Aritmetická posloupnost
Aritmetická posloupnost je jednoduchá posloupnost, kdy je mezi jednotlivými členy posloupnosti stálý rozdíl. Každý následující prvek je napríklad vetší o tri či treba menší o sedmnáct. Rozdíl, o kolik je jednotlivé prvky posloupnosti odlišují, sa nazývá diference (značíme d). V prvním prípade by byla diference tri, v druhém mínus sedmnáct a v prípade posloupnosti sudých čísel by byla diference dva. Vzorcem by sa tedy aritmetická posloupnost dala zapsat takto: an + 1 = an + d. Obecný vzorec pre výpočet ntého členu aritmetické posloupnosti je poté an = a1 + (n − 1)d. Ak byste napríklad meli dokázat, jestli je tato posloupnost (2n +7)n =1 aritmetická, postup by byl následující:
an = 2n + 7 an + 1 = 2(n + 1) + 7 an + 1 − an = 2n + 9 − 2n − 7 = 2
Diference je dva, jedná sa o aritmetickou posloupnost. Tak teď ešte pár dalších užitečných vzorečkô. Začneme součtem prvních n členô posloupnosti. Vzoreček je to docela logický, proste sečtete první a poslední člen posloupnosti a číslo vynásobíte polovinou počtu prvkô posloupnosti. Matematicky bychom to zapsali takto: Sn = (n / 2) · (a1 + an). Druhý vzorec pak popisuje zpôsob, ako vypočítat diferenci či libovolný člen posloupnosti, ak neznáte první člen: ar − as = (r − s)d.
Geometrická posloupnost
Geomtrická posloupnost sa od predchozí aritmetické liší tím, že dva sousední členy nemají rovnaký rozdíl, nýbrž podíl. Tomuto podílu sa poté neríká diference ako v prípade aritmetické posloupnosti, ale kvocient (značíme q). Takže jednoduchá geometrická posloupnost by treba mohly být mocniny desíti – 10, 100, 1000… Kvocient by tu byl pochopitelne deset, neboť po dosazení do vzorečku q = an + 1 / an dostaneme napríklad q = 1000 / 100 = 10. Z techto vzorečkô už môžeme pomalu odvodit rekurentní vzorec geometrické posloupnosti: an + 1 = an × q (proste vynásobíte jeden člen kvocientem a dostanete následující člen – ak byste chteli predchozí člen, místo násobení budete delit). Vzorec pre obecný člen goniometrické posloupnosti poté je an = a1 × qn − 1.
Geometrické posloupnosti môžeme ešte rozdelit do dalších dvou skupin a sice podle toho, jaký mají kvocient. Ak totiž bude absolutní hodnota kvocientu menší než jedna, bude celá posloupnost klesat k nule. Takováto posloupnost sa tedy nazývá konvergentní. Naopak ak bude absolutní hodnota kvocientu vetší než jedna, bude posloupnost chvátat k nekonečnu a ríká sa jí divergentní posloupnost. Pro konvergentní posloupnost poté platí jednoduchý vzorec pre súčet celé rady (platí len pre konvergentní, pretože divergentní sa blíží k nekonečnu a tak její súčet je de facto nekonečno): s = a1 /( 1 −q).