Objemy a obsahy
Najskôr veľmi stručne k teórii, keby náhodou niekto nevedel. Obvod telesa je súčet dĺžok všetkých jeho strán, vyjadruje sa v metroch a odvodených jednotkách. Obvod sa obvykle označuje písmenkom O. Obsah telesa je veľkosť plochy, ktorú teleso tvorí, počíta sa v metroch štvorcových, matematicky sa štvorcový metr vyjadruje pomocou dvojky v hornom indexe: m2. Obsah sa bežne zapisuje písmenkem S. Objem je priestor, ktorý teleso tvorí, jednoducho povedané to vyjadruje, koľko vody tam môžete naliať. Objem sa počíta v metroch kubických a odvodených jednotkách a priestorové miery sa zapisujú pomocou trojky v hornom indexe: m3. Objem sa bežne zapisuje pomocou písmena V. Obsah a objem môžeme vyjádriť i v ďalších (a v bežnom živote asi používanejších) jednotkách ako je ár alebo hektár pre obsah a liter pre objem. Pre ďalšie informácie o jednotkách sa pozrite na web jednotky.cz.
Štvorec a obdĺžnik
Obe telesá sú dvojpriestorové, preto tu nájdeme len obvod a obsah. U štvorca je to všetko najjednoduchšie, pretože štvorec už z definicie má všetky strany rovnako dlhé. Ak počítáme obvod štvorca, stačí nám vziať jednu stranu štvorca a vynásobiť ju štyrmi (počtom strán): O=4a. Obvod obdĺžníkov je len o fúz zložitejší. Obdĺžník má vždy dve a dve rovnako dlhé strany, preto sa nám ponúkajú dve cesty: buď všetky strany jednoducho posčítať alebo vziať dĺžky dvoch rôznych strán, vynásobiť ich dvoma a sčítať: O=2a+2b.
Obsah štvorca nie je o nič zložitejší než jeho obvod. Vezmite jeho jednu stranu a vynásobte druhou stranou. Vzhľadom na to, že štvorec má všetky strany rovnako dlhé, vzniká vzorec: S = a·a = a2. Obdĺžník funguje celkom identicky ako štvorec, len s tým rozdielom, že obdĺžnik nemá všetky strany rovnako dlhé a preto musíte násobiť dve rôzne na seba kolmé strany: S=a·b.
Rovnobežník
Rovnobežník je útvar, ktorý je podobný obdĺžniku, ale má dve protiľahlé strany skosené, pozri obrázok pod týmto odstavcom. Obvod rovnobežníku je jednoduchý a v zásade rovnaký ako u obdĺžniku: O=2a+2b, viacmenej obsah už je trošku zaujímavejší. Aby sme vypočítali obsah rovnobežníku, musíme z neho urobiť obdĺžnik, inak to nepôjde. A ako z neho urobíme obdĺžnik nám ukazuje nasledujúci obrázok:
Najprv odrežeme prebytočnú časť rovnobežníku (vyfarbená časť) a prirobíme ju na druhú stranu rovnobežníku, čím nám vznikne obdĺžnik:
Až teraz môžeme ľahko vypočítať obsah rovnobežníka, vzorec bude rovnaký ako v prípade obdĺžnika. Pretože grafický prevod rovnobežníka nie je pohodlný, používá sa prostý vzorec, ktorý vychádza práve z toho prevodu. Strana a bude totiž identická ako v prípade obdĺžnika, tak v prípade rovnobežníka, líši sa len druhá strana. My teda u rovnobežníka namiesto strany b budeme počítať s výškou rovnobežníka, ktorá sa rovná strane b v upravenom obdĺžniku. Prehľadne to ukazuje následujúcí obrázok (násobiť budeme červenou zvýraznené strany):
Vzorec vyzerá takto: S=va·a.
Lichobežník
Obvod je jasný, spočítame všetky strany dohromady. Obsah lichobežníka je už väčší oriešok. Teoreticky by sme mohli postupovať rovnako ako v prípade rovnobežníka, avšak nevieme, či máme vziať tú dlhšiu (AB) alebo tú kratšiu (CD) stranu.
Preto sa použije finta - vypočítame priemernú dľžku tých dvoch rovnobežných strán a budeme počítať s ňou. Sčítame teda dľžku strany AB a CD, vydelíme dvoma a potom už počítame rovnako ako v prípade rovnobežníka - vynásobíme to ešte výškou a máme obsah. S=(a+c)/2 · va.
Trojuholník
Trojuholník je dvojrozmerné teleso a môžeme uňho počítať obvod a obsah, nemôže mať a ani nemá objem. Obvod trojuholníka vypočítame tak, že sčítame všetky jeho strany. Teda obecný vzorec by vyzeral takto: O=a+b+c. Samozrejme môžeme nájsť špeciálne prípady, napr. je jasné, že rovnostranný trojuholník má všetky strany rovnako dlhé a preto nám stačí poznať dľžku jednej strany a ten vynásobit tromi. Potom by ten vzorec vyzeral takto: O'=3a.
Na obsah trojuholníka budeme potrebovať jednu malú úpravu. Aby sme mohli vypočítať obsah trojuholníka, musíme z neho urobiť rovnobežník (podobne, ako sme z rovnobežníku urobili obdĺžnik). Ako z trojuholníka urobiť rovnobežník nám opäť ukazuje nasledujúci obrázok:
Z tohto obrázku by už malo byť jasné, ako spočítať obsah trojuholníka - budete postupovať rovnako, ako keby ste počítali obsah rovnobežníka, akurát výsledok vydelíte dvoma: S=(va·a)/2
Kruh
Kruh je špecifický útvar v tom, že uňho obvod ani obsah nejde vypočítať. Teda aspoň nie s absolútne presnou hodnotou. Hoc už chceme s kruhom počítať čokoľvev, snaď nikdy sa nezaobídeme bez konstanty Pí - π (tu nie je vďaka blbému písmu veľmi dobre vidieť, vo skutočnosti je Pí omnoho krajšie). Veľkosť π nie je doposiaľ známa, jedná sa o iracionálne číslo, viacmenej jeho približná hodnota, s ktorou sa obvykle počítá (ak nemáte jeho hodnotu uloženú v kalkulačke), je 3,14. Presnejší hodnotu môžete nájsť na iných miestach.
Teraz prejdeme ku vzorčekom. Už dávni myslitelia zisťovali, ako vypočítať obvod kruhu, respektíve kružnice (kružnica je len tá čiara, obluk, kružnica nemá vnútro a nemá teda ani obsah, kdežto kruh má obsah, keďže sa do nej započítava aj vnútro kružnice). Zistilo sa, že pomer priemeru kruhu (ktorý sa dá ľahko zmerať) k obvodu kruhu je vždy rovnaký a postupom času sa aj vypočítalo, koľkokrát je obvod kruhu väčší než jeho priemer. A svetu div - je to práve Pí krát. Obvod kruhu teda spočítáme O=π·d=2·π·r (častejšie sa uvádza ten druhý, zložitejší vzorec, pretože väčšinou skôr poznáme polomer než priemer), kde d je priemer a r je polomer kruhu.
Obsah kruhu je potom S=π·r2, neviem, čo viac by som k tomu povedal :-).
Kocka a kváder
Toto sú prvé priestorové telesá, u nich teda budeme určovať povrch (povrch sa v priestore používa namiesto obsahu v rovine) a objem. Vzhľadom na to, že kocka má šesť stien a všetky steny tvoria štvorce, je postup jasný: vypočítate obsah jednej steny a ten následne vynásobite šiestimi. S=6a2. U kvádra je to už zdĺhavejšie, pretože má viacero rôzných stien. V zásade stačí spočítať obsah troch rôznych stien, sčítať a vynásobiť dvomi a máte povrch kvádra: S=(a·b + b·c + a·c)·2.
Objem kvádra sa počítá na chlp rovnako ako obsah štvorca len s tým drobným rozdielom, že nesmieme zabudnúť, že sa nachádzame v priestore. Zkrátka stačí vziať dĺžku strany a umocniť ju na tretiu: V=a3. U kvádra je to podobné, len musíme tie tri strany násobiť zvlášť, pretože sú rôzne dlhé: V=a·b·c.
Guľa
Povrch guľe (=guľová plocha) sa vypočíta S=4·π·r2 a objem guľe je V=4/3·π·r3. Ak si chcete prečítať celkom zložité odvodzenie výpočtu objemu guľe, pozrite sa na Cavalieriov princíp.
Ihlan a kužel
Povrch ihlanu sa obecne počíta ako súčet obsahu podstavy a obsahov všetkých stien. Obecný vzorec na to nie je. Objem ihlanu má niečo spoločného s výpočtom obsahu trojuholníka - vezmite obsah podstavy a vynásobíte ho výškou ihlanu. Výsledok následne vydelíte tromi a máte objem ihlanu. V=(Sp · v)/3, kde Sp je obsah podstavy.
Povrch rotačného kužeľa sa rovná súčtu obsahu podstavy a obsahu plášťa. Obsah podstavy je jasný, jedná sa o obyčajný kruh, teda S=π·r2. Obsah plášťa je trochu zložitejší, musíte si predstaviť, že ten plášť „rozviniete“ na stôl a tým vám vznikne akýsi kruhový výsek, jeho obsah sa rovná: S=π·r·s, kde s je polomer plášťa (vzdialenosť vrcholu kužeľa od hrany podstavy, v podstate je to niečo podobné ako hrana pri ihlane). Objem kužeľa je V=(π · r2 · h)/3, kde h je výška kužeľa.
Príklad na obsahy
Prvý príklad: Spočítajte obsah nasledujúceho obrazca (predpokladajte, že miery na ose sú v metroch):
Na prvý pohľad zistíme, že toto teleso je akýsi obecný mnohoúholník, na ktorý ako celok nemôžeme aplikovať žiadny vzorec. Musíme ho teda rozdeliť na menšie časti, ktoré už dokážeme spočítať. Najjednoduchšie bude, ak zo spodnej časti urobíme trojuholník a z vrchnej časti lichobežník. Rozdelenie ukazuje nasledujúci obrázok:
Teraz spočítame obsah trojuholníka ABE podľa vzorca S=(a · va)/2. Stranou a bude v tomto prípade strana AE a výškou na túto stranu bude strana EB. Vidíme, že |AE|=3 m a |EB|=1 m. Dosadením do vzorca získavame: S=(3 · 1)/2=1,5 m2.
V druhom kroku spočítame obsah lichobežníka a to podľa vzorca S=(a+c)/2 · va. Strana a bude v našem prípade strana AE a strana c strana DC. Výšku opäť ľahko vyčítame z obrázka, jedná sa o dľžku úsečky EC. Dosadením do vzorca získavame: S=(3+2)/2 · 2=5 m2.
Predchádzajúce dva čiastkové výsledky len spočítame a máme výsledný obsah telesa. S=1,5 m + 5 m = 6,5 m2.
Druhý príklad: Vypočítajte obsah nasledujúceho obrazca (predpokladajte, že miery na ose sú v metroch):
Asi je opäť na prvý pohľad jasné, že jeden vzorec nám stačiť nebude a že budeme musieť obrazec nejakým spôsobom upraviť. Budeme to počítať nasledujúcim spôsobom: Vypočítame obsah toho „štvorca“, pripočítame k tomu tri štvrtiny obsahu kruhu a odčítame ten malý trojuholník, vľavo dole:
Obsah štvorca vypočítame jednoducho: S1 = 2 · 2 = 4 m2. V druhom kroku vypočítame obsah kruhu. Opäč len dosadíme do vzorca a spočítáme S2 = π · 12 · 3/4 = 3π/4. Zostáva nám už len spočítať obsah trojuholníka DEI a odčítať ho od obsahu štvorca. Strana EI aj jej výška DI majú zhodne dĺžku 1 m, takže obsah trojuholníka bude S3 = ?.
V poslednom kroku sčítame a odčítame čiastočné výsledky: S = S1 + S2 − S3 = 3,5 m2 + 3π/4 m2.