Mocniny a odmocniny
Základné pojmy
Umocňovanie je matematická funkcia, ktorá – jednoducho povedané – slúži ku skrátenému zápisu násobenia. Miesto toho, aby ste napísali a · a, napíšete jednoducho a2. Dalo by sa to tiež zapísať ako a · a · … · a (kde počet a je n) = an. Konkrétne povedané 32 = 9, 24 = 16. Číslo, které umocňujeme, sa nazývá základ mocniny a číslo, na ktoré je základ umocnený (horný index), sa nazýva exponent.
Pri umocňovaní ešte platí jedno dôležité pravidlo, ak umocňujete záporné číslo (teraz mám na mysli záporný základ mocniny, nie záporný exponent). Ak totiž umocňujete záporné číslo na párny exponent, mení sa znamienko na kladné, ak umocňujete na nepárny, zostáva záporné. (-3)2 je teda deväť, ale (-3)3 je mínus dvadsať sedem. Na to pozor!
Záporný exponent
V praxi sa nestretávame len s pomerne jasne predstavitelnými exponentami, ktoré sú tvorené kladnými celými číslami. Ba naopak. Nie je výnimkou, keď niekde v príkladoch nájdete exponent záporný, napríklad –2. A čo teraz? Ako si to len predstaviť? Celkom jednoducho. Záporný exponent nie je nič iného, než ako keby ste vzali opačné číslo exponentu (teda z mínus urobíte plus), normálne umocníte a z výsledku, ktorý dostanete, urobíte len jeho prevrátenú hodnotu (1/výsledok). To je všetko. Matematicky povedané: a−2 = 1/a2. Napríklad 2−1 = ½.
Exponent vo zlomku
A prichádza ďalšie zozložitenie exponentu, predstavte si, že niekde uvidíte takýto výraz: a½. A čo teraz? I takýto výraz sa dá celkom jednoducho predstaviť, je to totiž obyčajné kombinovanie mocniny a odmocniny. Číslo v čitateli je exponent, na ktorý číslo umocníme a číslo v menovateli je exponent, na ktorý následne číslo odmocníme. Vyzerá to zložito, ale v reále je to jednoduché. Predchádzajúci príklad a1/2 sa dá totiž jednoducho prepísať ako √a. Alebo druhá odmocnina z a na prvú. Ďalší príklad a2/3 by sa dal prepísať takto: 3√a2 (tretia odmocnina z a na druhú). Dá sa to celkom jednoducho ukázať na tomto výraze: 24/2. Máte dve cesty ako postupovať. Buď zkrátite zlomok a vyjde vám 22 = 4 alebo budete postupovať podľa vzorca pre počítanie so zlomkami a budete mať 2√24, teda druhá odmocnina zo šesťnástich, čo je opäť štyri.
Ak nie je dostupné formátovanie horných indexov (napríklad v diskusiách na internete alebo v emailoch), často sa mocnina zapisuje namiesto 23 takto: 2^3.
Odmocniny
Odmocniny sú inverzné funkcie k umocneniu. Ak nejaké číslo odmocníte a následne umocníte na rovnaký exponent, vždy dostanete rovnaké číslo. Je pozoruhodné, že obrátene to už neplatí, z jedného prostého dôvodu – odmocňovať môžete len nezáporné čísla. Do odmocniny nikdy nemôžete hodiť záporné číslo, v obore reálnych čísiel to nemá riešenie. Preto napríklad keď umocníte mínus dvojku na druhú a následne odmocníte, dostanete plus dvojku, nie mínus dvojku. Na to pozor pri určovaní definičného oboru.
inak s odmocninami sa obecne príliš nepracuje, pretože sa s nimi celkom ťažko počíta. Väčšina vzorcov, ktoré zmienim za chvílu, pracuje predovšetkým s exponentami pri umocňovaní, teda miesto druhej odmocniny sa obvykle píše exponent „na jednu polovicu”. Ak je to teda možné (a je to možné snáď vždy), preveďte si odmocniny do zrozumiteľnejších a ľahko predstaviteľnejších tvarov pomocou bežných exponentov.
Zvláštné prípady mocnín a odmocnín
Niektoré príklady mocnín a odmocnín sú natoľko zvláštne, že si zaslúžia väčšiu pozornosť. Takže pekne poporiadku:
- a1 = a — čokoľvek na prvú sa vždy rovná základu mocniny. Proste do tej rady násobkov si postavíte len jedno a.
- a0 = 1 — čokoľvek na nultú sa vždy rovná jedna
- 0n = 0; n > 0 — nula na entú sa vždy rovná nula pre kladné n
- 00 = ? — Zde si povšimnete zvláštního paradoxu – z predminulého bodu vyplývá, že cokoliv na nultou je jedna, avšak z predchozí bod ríká, že nula na cokoliv je nula. A čo takhle nula na nultou? Které pravidlo je v tomto prípade silnejší? Matematika nemluví jasne, avšak v rôzných programovacích jazycích obecne platí, že 00 je jedna.
Vzorečky pre práci s mocninami
Takže nekolik vzorečkô, které vám ulehčí práci s mocninami:
- am · an = a(m+n)
- (a · b)n = an · bn
- am/an = a(m − n)
- (an)m = amn Slovy rečeno a na entou a to celé na emtou sa rovná a na em krát en.