Množiny
Čo je to množina
Množina sa dá chápat ako soubor prvkô. Každá množina tedy obsahuje
určitý počet prvkô, ktorý môže být konečný alebo nekonečný. Též
nemusí obsahovat prvek žádný, poté mluvíme o prázdné množine
(zapisujeme r). Množinu obvykle značíme velkým tiskacím písmenem
(napríklad M) a prvky množiny malým písmenem (m). Je-li prvek m obsažen
v množine M, zapisujeme to takto: m
M.
Dve množiny M a N sú stejné, práve tehdy keď všetky prvky obsažené v M sú obsaženy i v N a naopak. Dále môžeme také definovat pojem podmnožina. Podmnožina N množiny M je taková množina, jejíž všetky prvky sa zároveň nacházejí i v množine M. Všimnete si, že sa klidne môže stát, že tieto dve množiny budú stejné. Ony sa koneckoncô shodné množiny dají definovat i pomocou podmnožin: množiny M a N sú shodné, jestliže N je podmnožina M a zároveň je M podmnožina N.
Množinu môžeme zadat dvema zpôsoby a sice buď výčtem prvkô anebo
charakteristickou vlastností. Výčtem prvkô by zápis vypadal takto: A = {1,
2, 3}, charakteristickou vlastostí takhlenc: A ={x|x Z; x <0, 7>} (x
bereme z celých čísel a z uzavreného intervalu nula až sedm, výsledkem
tedy budú celá čísla od nuly do sedmi, vrátane).
Základní množiny
V matematice sa velice často pracuje s určitými množinami, které si teď popíšeme.
Množina prirozených čísel sa obvykle značí N a jedná o „celá kladná čísla”. Tato množina je uzavrena pre operace násobení a sčítání, což znamené, že ať vezmeme jakékoliv dve čísla z N a vynásobíme je či je Sčítame, získáme opet prirozené číslo. Toto neplatí pre odčítání (dva minus pet je číslo záporné – nie je prirozené) a delení (deset deleno tremi nie je číslo celé). Množina prirozených čísel je dále nekonečná a spočetná. Prirozená čísla sú podmnožinou celých čísel. Príklad celých čísel: 1, 6, 123. niekedy sa udává i nula.
Celá čísla značíme Z. Celá čísla sú uzavrená operacím sčítání a násobení, rovnako ako prirozená čísla, ale nove také odečítání, neboť obsahují i zápornou část. Stále tu nefiguruje delení, pretože jsme schopni nájsť podíl dvou celých čísel, jejichž výsledek už celé číslo nie je. Celá čísla sú opet nekonečná, ale spočetná množina. Príklad celých čísel: −5, 34,−354.
Racionální čísla sú všechna čísla, která môžeme zapsat zlomkem a značíme je Q. Racionální čísla má už uzavrené operace sčítání, odčítání, násobení ale už také delení (vyplývá z definice, ktorú som uvedl pred chvílí). Racionání čísla sú opet nekonečná a spočetná množina. Príklad: 3, −54.12, 10 / 7. Ješte bych sa zmínil o Iracionálních číslech, což sú čísla, která nelze zapsat zlomkem – mají nekonečný neperiodický desetinný rozvoj. Príkladem budiž veleznámé Ludolfovo číslo Pí – 3,1415 …a tak dále (kto sa ho naučí nazpameť, má u me pivo).
Reálná čísla sa značí R a zahrnují v sobe ako Racionální čísla, tak Iracionální čísla. Jsou to tudíž čísla, které lze teoreticky zapsat pomocou nekonečne dlouhým desetinným zápisem. Tato množina už spočetná nie je.
Poslední množinou sú komplexní čísla, která sú natolik zvláštní, že sa jim venuji v samostatném článku. Prozatím zmíním, že komplexní čísla mají dve složky – reálnou a imaginární část. Velice často sa komplexní čísla používají tam, kde nám už nestačí množina Reálných čísel, napríklad pri odmocňování záporného čísla. S tím si komplexní čísla hrave poradí ;-).
Množinové operace
Stejne ako môžeme operovat sa samotnými čísly, môžeme provádet všemožná kouzla i s množinami. Samozrejme množinové operace sú mírne odlišné od tech normálních. Jako první sa zmíním o sjednocení množin (značíme symbolem U). Sjednocením dvou množin M a N vznikne nová množina A, která bude obsahovat všetky prvky z množiny M a také všetky prvky z množiny N. Matematičteji rečeno, bude obsahovat prvky náležící do M alebo náležící do N. Ukázkový príklad: Mejme dve množiny N = {1, 3, 5, 7} a M = {2, 4, 6} poté M U N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Další množinovou operací je prônik množin (značíme ∩). Prônikem dvou množin M a N vznikne nová množina A, která bude obsahovat prvky, které mají ty dve množiny společné. Presneji bychom rekli, že nová množina bude obsahovat prvky, které náleží do M a zároveň náleží do N. Jednoduchý príklad na pochopení: Nechť sú dány tieto dve množiny: F = {27, 7, 2} a G = {5, 7, 9} potom F ∩ G = {7}.
Tretí operací je rozdíl, což je tak trochu opak ke sjednocení. Rozdíl množin značíme standardním symbolem pre minus − anebo takovým šikmým minus \. Rozdílem dvou množin M a N chápeme takovou množinu, která bude obsahovat všetky prvky z M a zároveň nebude obsahovat žádný prvek z N. Zkrátka sa kouknete, které prvky má první množina společná s druhou a ty poté odstraníte. Toť všetko. Príklad: Q = {4, 8, 12} a X = {2, 4, 6, 8, 10} poté Q − X = {12}.
Další dôležitá operace je doplnek množiny. Značí sa to všelijak, ale asi nejčasteji čárkou '. Doplnek množiny M tvorí všetky prvky, které nenáleží do množiny M. Obvykle sa ešte určuje, do které množiny sa doplnek počítá. Mejme tedy množiny: P = {1, 2} a O = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Poté doplnek množiny P do O nám dává množinu s prvky {3, 4, 5, 6, 7}.