Matematika polopate

Logaritmy

Exponenciální funkce

Než sa dostaneme k logaritmôm, bude treba vysvetlit pojem exponenciální funkce. Takže exponenciální funkce je taková funkce, která má neznámou na míste exponentu. Symbolický zápis by tedy vypadal takto: f:y = ax, kde a > 0 a zároveň a≠1 (ak by sa a mohlo rovnat jedné, vznikla by z toho konstatní funkce, pretože i kdybychom umocňovali jedničku pôl dne, porád by nám vznikala len jednička). Mimoto známe dva speciální druhy exponenciálních funkcí a sice Dekadickou – f:y = 10^x a Prirozenou exponencionální funkci – f:y = e^x (základ je Eulerovo číslo). Grafem exponenciální funkce je Exponenciální krivka. V zásade známe dva druhy této krivky:

Toto je graf exponenciální funkce f:y = 2^x. Tento typ grafu platí pre všetky a>1, pre a>0 a<1 existuje jiný graf, ktorý bude uveden za chvíli. Z tohoto grafu ale môžeme vyčíst jisté zákonitosti. Tak predevším exponenciální graf vždy prochází bodem o souradnicích [0,1], neboť cokoliv na nultou je jedna (samozrejme platí pre jednoduché funkce, kde za výraz nepričítáme nejaké další promenné či výrazy). Dále je jasne videt, že funkce je rostoucí, nie je ani sudá ani lichá, nemá minimum ani maximum a je omezená zdola.

exponenciální funkce se základem menším než jedna

Tento graf je určen exponenciální funkcí f:y = ½^x a tento typ grafu obecne platí pre a>0 a zároveň a<1. I tento graf prochází bodem [0,1], neboť opet cokoliv na nultou je proste jedna. Funkce je to klesající, nie je ani sudá ani lichá, nemá minimum ani maximum a je omezená zdola. Rozdíl mezi prvním grafem a tímto druhým a je pomerne jasný – ak trojku umocníne na druhou, vyjde vám číslo vetší, konkrétne devítka. Čím vetší číslo budete umocňovat, tím vetší výsledek získáte (neplatí pre záporný exponent). Naopak ak umocníte na druhou jednu polovinu, je jasné, že vám vznikne číslo menší. Proto je první graf rostoucí a tento druhý klesající.

Logaritmické funkce

Objasnit pojem exponenciální funkce bylo nezbytne nutné hlavne preto, že logaritmická funkce je inverzní funkce práve k funkci exponenciální. Logaritmická funkce má o fous složitejší predpis než predchozí exponenciální funkce: f:y = log_a x, kde a je základ logaritmu a x je argument. Tento zápis čteme: „logaritmus čísla x o základu a”.

Logaritmus je exponent, ktorým keď umocníme základ, získáme argument x.

Z predchozí definice vyplývá, že zápis logaritmu môžeme také prepsat takto: a^y = x. Opet známe dva speciální druhy logaritmu. První je takzvaný dekadický logaritmus, je to takový logaritmus, ktorý má za základ číslo deset. Místo bežného zápisu log₁₀x sa poté používá prosté log x. Kdykoliv tedy uvidíte takovýto logaritmus bez základu, vezte, že sa jedná o dekadický logaritmus sa zkákladem deset. Druhý prípad je prirozený logaritmus, ktorý sa namísto log značí ln. Tento logaritmus má zase za základ Eulerovo číslo, což je jedna zo základních metmatických konstant jejíž približná hodnota je 2,71828. Více informací trebas na wiki.

Grafy logaritmických funkcí

Jelikož je logaritmus inverzí k exponenciále, musí být jejich grafy taktéž inverzní, což sa projevuje tím, že sú osove soumerné podle osy první a tretího kvadrantu. Opet rozlišujeme, zda je základ a vetší než jedna anebo je v intervalu nula až jedna, ako u exponenciální funkce.

Modrá krivka predstavuje pôvodní exponenciální funkci 2^x, zelená krivka je grafem logaritmické funkce log₂ x. Jak je pomerne zretelne videt, obe krivky sú osove soumerné podle osy první a tretí kvadrantu (tj. funkce y = x). Opet tu platí hezká zákonitost, že logaritmus jedné sa vždy rovná nula (len ak je exponent roven nula, je výsledek roven jedné – samozrejme ak nie je už základ roven jedné). Dále je tato funkce rostoucí, nemá maximum ani minimum a narozdíl od exponenciální funkce nie je omezená ani shora ani zdola.

Na tomto obrázku je naopak videt graf logaritmické funkce pri základu menším než jedna, konkrétne jedna polovina. Modrá krivka je opet pôvodní exponenciální funkce, zelená je inverzí logaritmus. Na první pohled je videt, že grafy sú zase soumerné podle osy prvního a tretího kvadrantu, rovnako ako v minulém prípade. Funkce je tentokrát klesající, ale inak opetne nemá minimum ani maximum a nie je omezená ani zdola ani shora. I tato krivka protíná osu x v bode jedna, neboť stále platí, že len ak je exponent nula, môže sa výsledek rovnat jedné.

Nesmíme Samozrejme zapomenout na vec nejdôležitejší a tou je definiční obor. Logaritmické funkce nejsou definovány na celém oboru Reálných čísel, ale len na kladných číslech, což lze snadno vyčíst i z grafu.

Vety o logaritmech

Stejne ako známe mnoho rôzných vzorcô pre počítání s mocninami ako takovými, existuje i nekolik obecných vzorcô pre počítání s logaritmy, které nám ulehčí život, ak už niekedy nekde na nejaký ten logaritmus narazíme.

log_x (a · b) = log_x a + log_x b (česky ta veta zní „Logaritmus součinu sa rovná súčtu logaritmô”)
log_x (a / b) = log_x a − log_x b („Logaritmus podílu sa rovná rozdílu logaritmô”)
log_xa^b = b · log_xa