Lineární rovnice
Lineární rovnice je taková rovnice, ktorú môžeme upravit na tvar ax + b = 0, kde a, b R. Konkrétní príklad by mohl vypadat treba takto: 2x + 4 = 0. rešením této rovnice je číslo −2, což sa dá asi docela logicky vydedukovat. Ak by tam byly trochu vetší čísla, už by ona dedukce nebyla tak jednoduchá, takže to bude chtít nejaký konkrétnejší postup.
Pri výpočtu lineární rovnice môžeme použít mnoho rôzných ekvivalentních úprav (to jest takové úpravy, které nezmení výsledek rovnice – napríklad umocnení je neekvivalentní úprava, která by výsledek zmenila a bylo by nutné provádet zkoušku, což pri použití ekvivalentních úprav nie je nezbytne nutné). První a asi nejpoužívanejší úprava je pričítání výrazô k obema stranám rovnice. Neboli „prehazování” výrazô na druhou stranu rovnice s opačným znaménkem. Predchozí rovnici bychom tedy mohli upravit takto: 2× = −4. Teď už len stačí podelit celou rovnici dvojkou a vychází nám výsledek x = −2. Z toho sa dá také odvodit pomerne jednoduchý vzorec: x = −b/a.
Lineární rovnice s neznámou vo jmenovateli
Obdobne sa dá i rešit lineární rovnice s neznámou vo jmenovateli. Samozrejme místo delení tentokrát použijeme násobení. Takže máme takovouto rovnici: 30/x=6. Ak celou tuto rovnici vynásobíme jmenovatelem, tj. promennou x, dostaneme takovouto rovničku: 30 = 6x. Tohle už je jednoduchá lineární rovnice, stačí podelit šesti a vyjde výsledek x = 5.
Lineární rovnice s absolutní hodnotou
Máme-li v lineární rovnici nejaký výraz (respektive promennou) v absolutní hodnote, začínají už mírne komplikovanejší počty. Musíme totiž počítat vo vícero intervalech. Máme-li jeden výraz v absolutní hodnote, vyjdou nám dva intervaly, ak pracujeme sa dvema výrazy pod absolutní hodnotou, skončíme u trí intervalô a tak dále. Abychom určili ony osudné intervaly, je nutné najprv zjistit nulové body. Nulový bod je takový bod, pri jehož dosazení sa výraz v absolutní hodnote rovná nule. Tento bod je pak hranice mezi tím, kdy je výraz kladný (a kdy sa tedy nemení znaménko kvôli absolutní hodnote) a kdy je záporný (kdy sa mení znaménko na kladné). V techto intervalech poté rešíme rovnici zvlášť a výsledky sjednotíme.
Takže teď už trošku konkrétneji, dáme si nejaký príklad. Máme následující rovnici 3 + 2|x − 5| = 6. Nulový bod výrazu v absolutní hodnote určíme snadno:
x − 5 = 0 x = 5
Dostali jsme tedy dva intervaly: (−∞, 5) a <, ∞). V prvním intervalu je výraz záporný, v druhém kladný. Nyní tedy vypočítáme rovnici v prvním intervalu (−∞, 5). Odstraníme absolutní hodnotu a obrátíme znaménka, neboť v tomto intervalu je výraz záporný a tudíž nám absolutní hodnota prevrací znaménka:
3 + 2(−x + 5) = 6 (nyní rešíme ako prostou lineární rovnici) 3 − 2x + 10 = 6 −2x = −7 x = 3,5
Jeden výsledek bychom tedy meli, len musíme zkontrolovat, zda výsledek odpovídá intervalu, vo ktorom pracujeme. Vybíráme totiž x z intervalu (−∞, 5) a je tedy jasné, že ak by vyšel výsledek napríklad sedm, nemohl by to být platný výsledek, pretože sedmička sa nenachází v tomto intervalu.
Nyní vypočítáme výsledek v druhém intervalu tedy <5, ∞) (znaménka sa nemení, pohybujeme sa v kladném intervalu):
3 + 2(x − 5) = 6 3 +2x −10 = 6 2x = 13 x = 6,5
A je na svete druhý výsledek, ktorý opet náleží do intervalu, vo ktorom sa momentálne pohybujeme. Výsledek celé rovnice je tedy sjednocení techto dílčích výsledkô, tedy rovnice má dve rešení K ={3,5; 6,5}. Ak si tieto dva výsledky dosadíte do pôvodní rovnice, musí sa vám obe strany po výpočtu rovnat.
Lineární rovnice s parametrem
Lineární rovnice s parametrem je normální rovnice, která ale obsahuje krome promenné x i parametr p. Pri rešení techto rovnic hledáme koreny v závislosti na hodnote parametru. V zásade mohou nastat dva prípady – buď nám parametr „vyruší” promennou x alebo ne :-). Tak a teď už konkrétne.
Máme tedy takovýto príklad:
(2p + 2)x − 6 = 0
Podobne ako u lineární rovnice s absolutní hodnotou musí zjistit, kdy sa celý výraz s parametrem rovná nule, pretože pak nám z rovnice zmizí promenná x. To nastane v prípade, kdy sa p = −1. Rovná-li sa tedy parametr mínus jedné, nemá rovnice rešení (−6 ≠ 0) a ak sa nerovná mínus jedné, má rovnice rešení 6/(2p + 2), respektive po úprave 3/(p+1). Toť všetko.