Kvadratické rovnice
Kvadratická rovnice sa od predchozí lineární rovnice liší tím, že obsahuje kvadratický člen, napríklad x2. Obecne bychom tedy kvadratickou rovnici zapsali takto: ax2 + bx + c = 0, kde ax2 sa nazývá kvadratický člen, bx lineární člen a c absolutní člen. Než prejdu k rešení této obecné kvadratické rovnice, zmíním najprv speciální typy kvadratických rovnic.
Ryze kvadratická rovnice
Ak sa b = 0 jedná sa o ryze kvadratickou rovnici (ax2 + c = 0), která sa reší obdobne, ako lineární funkce. Absolutní člen prehodíme na druhou stranu rovnice, podelíme výrazem a a vyjde nám neco takového: x2 = −c/a. Poté už stačí celou rovnici odmocnit a výsledek je na svete. Pritom musí platit podmínka, že výraz −c / a > 0 (Nemôžete odmocňovat záporné číslo, tedy alespoň ne v oboru reálných čísel). Pri odmocňování nezapomeňte, že výsledek môže být ako kladný, tak záporný (ak odmocňujete devítku, výsledek môže být ako tri, tak méne tri).
Tak si dáme jeden ukázkový príklad:
2x2 −8 = 0 2x2 = 8 x2 = 4 |x| = 2
Výsledek je tedy x1 = 2 a x2 = −2.
Kvadratická rovnice bez absolutního členu
Další specifický prípad kvadratické rovnice spočívá v absolutním členu rovnému nule - ax2 + bx = 0. Tento typ rovnice sa reší vytýkáním neznámé - x(ax +b) = 0. Zde je už videt pomerne jasný výsledek. Opet vyjdou dva koreny rovnice, ale jeden z nich bude vždy roven nule, pretože ak vynásobíme výsledek v závorce nulou, vyjde nám zase nula. Druhý výsledek pak logicky zjistíme, keď spočítáme, kdy sa hodnota v závorce rovná nule, což jde snadno: −b /a. Opet jeden ukázkový príklad:
6x2 + 3x = 0 x(6x + 3) = 0 x1 = 0 x2 = −½
Kvadratická rovnice sa vším všudy
Obecná kvadratická rovnice sa obvykle reší pomocou diskriminantu, jenž je součástí ne úplne krátkého vzorečku, ktorý byste si určite meli zapamatovat, pretože kvadratické rovnice sa reší na každém rohu. Samotný diskriminant sa vypočítá následovne: D = b2 – 4ac. Již z tohoto výsledku môžeme vyčíst, kolik bude mať rovnice korenô. Ak vyjde diskriminant kladný, má rovnice dva rôzné koreny. Ak je diskriminant roven nule, má rovnice jeden dvojnásobný koren (laicky rečeno, vyjdou vám sice dva koreny ako v predchozím prípade, ale budú oba dva stejné). Ak vyjde diskriminant záporný, nemá rovnice v oboru reálných čísel rešení, tu už musí nastoupit komplexní čísla, v jejichž oboru môžeme odmocnit i záporná čísla.
Celý strašidelný vzoreček na výpočet korenô vypadá takto:
Z tohoto vozrečku je už pochopitelné, proč v oboru reálných čísel nemôže mať kvadratická rovnice rešení, vyjde-li diskriminant záporný. Diskriminantem lze fakticky vyrešit akúkoľvek kvadratickou rovnici, ale niekedy sa prece len hodí použít alternativní jednodušší zpôsob, obzvlášte, keď nemáte po ruce kalkulátor a predevším, keď rovnice splňuje jisté podmínky.
Ak sa a = 1, môžete zkusit zjistit koreny pomocou rozkladu. Platí totiž, že súčet korenô sa rovná -b a součin korenô sa rovná -c. Vysvetlím lépe na príkladu. Máme takovouto kvadratickou rovnici: x2 + 5× + 6 = 0, ktorú môžeme jednoducho rozložit takto: (x + 2) · (x + 3) = 0. Dva plus tri sa rovná pet, což je b a dva krát tri je šest, což je zase c. Koreny sú pak pochopitelne čísla opačná (vždy alespoň jedna závorka sa musí rovnat nule, aby sa celá strana rovnala nule), tedy –2 a –3. Ak máte nejakú jednoduchou kvadratickou rovnici, rozhodne využijte tento zpôsob rešení, stačí zkusit pár korenô a obvykle rešení najdete, ak existuje. Je to jednodušší a hlavne rychlejší než to počítat pres diskriminant.
Kvadratická počítačka
Výpočet kvadratické rovnice – zadejte požadované čísílka a program vám vypočte diskriminant a koreny (počítá to i komplexní koreny v prípade, že vyjde diskriminant záporný – ak neznáte komlexní čísla alebo s nimi zrovna nepočítáte, berte to tak, ako by rovnice nemela rešení).