Komplexní čísla
Čo je to komplexní číslo
Komplexní čísla sú jakousi nádstavbou čísel reálných, neboť v oboru reálných čísel môžeme delat velké lumpárny, ale nepodarí sa nám odmocnit záporné číslo. Určite si pamatujete, že ak ste počítali kvadratickou rovnici a vyšel vám záporný diskriminant, prohlásili ste, že rovnice nemá v oboru reálných čísel rešení. S príchodem komplexních čísel sa Samozrejme situace mení a rovnici môžete dopočítat. Komplexní čísla totiž zvládají odmocnit i záporné číslo.
Od bežných čísel sa ty komplexní liší predevším v tom, že obsahují dve části – reálnou a imaginární. Komplexní číslo je tedy dvojice usporádaných čísel [x, y], kde číslo x predstavuje reálnou část a číslo y imaginární část. Ak je reálná část nulová, jedná sa o ryze imagirnání komplexní číslo. Komplexní čísla sa bežne zapisují pomocou písmene z.
Tvary komplexních čísel
Komplexní čísla môžeme také prevést na bežnejší algebraický tvar, ktorý vypadá takto: a + bi, kde a, b sú reálná čísla a písmeno i značí onu zásadní imaginární jednotku. S prihlédnutím k predchozímu zápisu môžeme napsat, že a = x a b = y.
Z každého komplexního čísla môžeme urobiť číslo komplexne sdružené. Je to velice jednoduché, komplexne sdružené číslo získáme, keď zmeníme znaménko u hodnoty imaginární složky. Máme-li komplexní číslo 132 + 31i, číslo komplexne sdružené je 132 − 31i. Komplexne združené číslo sa bežne zapisuje ako zet s pruhem – je to proste písmeno Z a nad ním vodorovný pruh.
Existuje též opačné komplexní číslo, což sa od komplexne sdruženého čísla liší tím, že znaménko prohodíme i u reálné části. Z a + bi dostáváme −a − bi.
Operace s komplexními čísly
Sčítání komplexních čísel pobíhá vcelku jednouše, pretože stačí len sečíst reálnou část prvního čísla s reálnou částí druhého čísla a to samé s imaginární částí (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Nie je na tom nic nepochopitelného a nelogického. V praxi by to vypadalo takto: (2 +5i) + (3 + 2i) = 5 + 7i. Odečítání probíhá analogicky.
Násobení komplexních čísel už tak jednoduché nie je, budete si muset zapamatovat vzoreček. Máme-li dve komplexní čísla a + bi a c + di, jejich součin získáme takto: (ac − bd) + (ad + bc)i. Príklad: (13 − 3i) · (6 +2i) = (78 +6) + (26 − 18)i = 84 + 8i.
Imagirnání část
Nyní sa trochu blíže podíváme na imagirnární část komplexního čísla, tedy na to magické i. S tímhle písmenkem sa totiž dají delat hotové divy. Abyste mohli odmocnit záporné číslo, musíte z nej urobiť číslo kladné a presne k tomu nám slouží imagirární složka a trocha magie. Možná to bude znít trochu divne, ale i2 = −1. Ak umocníte i na druhou, získáváte minus jedničku. Pomocí tohoto principu snadno odmocníme i záporné číslo, pretože záporné číslo −a môžeme zapsat ako a · i2. Nyní len odmocníme kladné číslo a a odmocníme i2, což je pochopitelne i. Výsledek tedy je i√a.
Všechny mocniny i vypadají takto:
- i1 = i
- i2 = −1
- i3 = −i
- i4 = 1
- i5 = i
- i6 = −1
- i7 = −i
- i8 = 1
- ...
Jak vidíte, cyklicky sa to opakuje, pekne po čtyrech mocninách. Ak tedy máte nekde v príkladu vyšší mocninu, stačí jí len vydelit čtyrmi a počítat dále sa zbytkem. Napríklad i34 → 34/4 = 8 (2). Zbytek je dva, takže dostáváme tento zápis i34 = i2 = −1. Ješte jeden príklad: i99 → 99/4 = 24 (3) → i99 = i3 = −i.
Nyní už môžeme vypočítat i kvadratickou rovnici sa záporným diskrimantem, napríklad x2 + 4x + 5 = 0. Diskriminant je roven −4 a rovnice nemá v oboru reálných čísel rešení. Nyní výsledek prepíšeme do komplexního čísla takto: 4i2. S tímto číslem už môžeme pracovat vo vzorečku pre výpočet korenô kvadratické rovnice. Vychází nám toto číslo: (−4 ± i√4)/2. Výsledné koreny tedy sú −2 + i a −2 − i.
Grafické znázornení komplexního čísla
Ostatní čísla ste jiste byli zvyklí znázorňovat na jednoduchou číselnou osu. Jenže vzhledem k tomu, že komplexní čísla mají dve složky, nie je možné je zapsat na jednu osu, ale sú treba osy dve. Dostáváme tak rovinu, konkrétne Gaussovu rovinu, vo které sa vyskytuje kartézský souradnicový systém. Ose x ríkáme reálná osa (nanáší sa na ni reálná část komplexního čísla) a ose y imaginární osa (nanáší sa na ni imagirnání část komplexního čísla). Prohlédnete si názorný obrázok, ktorý všetko shrnuje.
Nyní už môžeme docela jednoducho definovat absolutní hodnotu komplexního čísla. Absolutní hodnota tedy je vzdálenost souradnice komplexního čísla od počátku souradnicového systému. Absolutní hodnotu zapisujeme takto: |z|. Výpočet absolutní hodnoty vychází z definice Pythagorovy vety, takže |z| = √(a2 + b2). Umocníte reálnou část, umocníte imagirnání část, sečtete a súčet následne odmocníte. Tím získáte absolutní hodnotu komplexního čísla.
Goniometrický tvar komplexního čísla
Ne vždy sa vyplatí mať komplexní číslo v algebraickém tvaru a preto sa zavádí ešte goniometrický tvar komplexního čísla. Komplexní číslo v rovine totiž môžeme vyjádrit buď pomocou jejich souradnic (=algebraický tvar) anebo pomocou velikost úhlu, ktorý svírá úsečka, vzniklá spojením bodu komplexního čísla a počátku souradnicového systému a vzdálenosti od počátku systému (=absolutní hodnota)
Goniometrický tvar komplexního čísla vypadá takto: z = |z|(cos φ + i·sin φ). Teď už len zbývá zjistit, ako sa k takovémuto tvaru dostaneme. Z grafického znázornení komplexního čísla môžeme vyčíst, že cos φ = a/|z| a sin φ = b/|z|.
Príklad: Preveďte komplexní číslo 6 − 6i. Jako první si nyní spočítáme |z|, absolutní hodnotu čísla. Ta sa rovná √72, což môžeme upravit na 6√2 (najprv číslo prevedeme na √(36·2) a poté odmocníme šestku a dvojku ponecháme). Nyní musíme spočítat hodnotu φ. Víme, že cos φ = a/|z|, po dosazení dostáváme cos φ = 6/6√2 = 1/√2 = √2/2. Z tohoto nám vychází, že φ sa rovná buď π/4 anebo 7π/4.
Teď sa vrhneme na druhou část. Víme, že sin φ = b/|z|, po dosazení dostáváme sin φ = −6/6?2, po úpravách vychází sin φ = −√2/2. Hodnota φ môže nabývat hodnot 5π/4 alebo 7π/4. Vidíme, že sinus i kosinus mají rovnaký výsledek pri hodnote φ = 7π/4.
Goniometrický tvar vypadá takto: 6√2(cos 7π/4 + i·sin 7π/4).