Funkce
Čo je to funkce?
Funkce je predpis, ktorý každému číslu x z množiny M priradí práve jedno y z množiny N. Funkce sa dá také definovat ako zobrazení (na číselných množinách), což je predpis, ktorý každému prvku z množiny M prirazuje práve jeden prvek z množiny N. Funkci obvykle zapisujeme vo tvaru y = f(x), či ji môžeme vyjádrit explicitne f:y = x kde promenná x je argument funkce.
Definiční obor a obor hodnot
U každé funkce musíme také určit její definiční obor (značíme D(f)), což je množina všech prípustných hodnot argumentu x, tedy všetky hodnoty, ktorých môže promenná x nabývat. Jednoduchý príklad: f:y = x tu je definiční obor roven celé množine reálných čísel D(f) = R. Jiný príklad: f:y = 1 / x v tomto prípade je definiční obor množina reálných čísel, Samozrejme tentokrát vyjma nuly, pretože nemôžete delit nulou, výraz by poté nedával smysl D(f) = R − {0}.
Obor hodnot (značíme H(f)) je poté analogicky množina všech prípustných y, tedy množiny všech prvkô, kam môže ukazovat funkce f. Opet jednoduchý príklad: mejme funkci f:y = x. Zde je oborem hodnot množina R, pretože y môže dosahovat libovolné hodnoty z této množiny. Vezmeme si Samozrejme další funkci f:y = |x| (absolutní hodnota). Tu už bude obor hodnot roven intervalu <0, +∞), pretože sa nikdy nemôže stát, že by sa y rovnalo napríklad minus peti, pretože to z definice absolutní nie je možné.
Ak bychom sa drželi pojmu zobrazení z množiny A do množiny B, pak vezte, že množina A jest definičním oborem a množina B sa nazývá obor hodnot.
Monotonnost funkce
Monotonnost funkce je vlastnost, která určuje, zda je funkce na daném intervalu rostoucí, klesající, neroustoucí, neklasající anebo konstantní.
Nejlépe jde tato vlastnost vyčíst z grafu, jestliže máte pocit, že graf klesá, jedná sa o funkci klesající, roste-li funkce, je to funkce rostoucí. Jak prosté :-). Teď už len zbývá matematické vyjádrení. Funkce je rostoucí, ak x1 > x2 => f(x1) > f(x2) (tedy je-li první číslo vetší než druhé, musí být i funkční hodnota prvního čísla vetší než druhého). Naopak je klesající, jestliže x1 > x2 => f(x1) < f(x2) (je-li první číslo vetší než druhé, musí být funkční hodnota prvního menší než druhého).
 Funkce rostoucí na celém svém definičním oboru — prirozený
logaritmus
|
 Funkce klesající na intervalu nula až Pí — kotangens
|
Konstatní funkce sa definuje zcela jednoducho: x1 ≠ x2 => f(x1) = f(x2). Funkce neklesající a neroustoucí sa definují podobne ako klesající a rostoucí – funkce je neklesající, ak je na daném intervalu rostoucí anebo konstatní, což dává definici x1 < x2 f(x1) ≤ f(x2) a obdobne pre nerostoucí: x1 < x2 f(x1) ≥ f(x2).
 Funkce neklesající: (sgn(x) * x) + x
|
 Funkce nerostoucí: |x| − x
|
Funkce sudá a lichá
Nekteré funkce mohou být za jistých podmínek sudé anebo liché. Nejjednodušší je znát graf funkce, tam to lze poznat nejrychleji. Funkce sudá je totiž soumerná podle osy y, kdežto funkce lichá je soumerná podle počátku. Príklad sudé funkce môže být y = x2 a liché prakticky nejjednodušší funkce y = x.
 sudá funkce soumerná podle osy y - kvadratická funkce
|
 lichá funkce soumerná podle počátku - lineární funkce
|
Matematicky sa pak tieto vlastnosti zapíší takto: sudá funkce f(x) = f(−x) (funkce je sudá, jestliže funkční hodnota v x sa rovná funkční hodnote v −x). Lichá funkce: f(−x) = −f(x) (funkce je lichá, jestliže sa funkční hodnota v −x rovná minus funkční hodnote v x). x vždy vybíráme z definičního oboru.
Funkce prostá
Prostá funkce je taková funkce, pre ktorú platí f(x1) = f(x2) x1 = x2. To toho víte, čo? :-) Takže česky rečeno, ak má být funkce prostá, každému x musí být prirazeno jedinečné y, nemôže sa stát, že by pre dve rôzná x byla stejná funkční hodnota. Neboli – ako ríká predchozí definice – ak sa rovnají funkční hodnoty, musí sa rovat i jejich argumenty. Graficky sa to dá poznat ako vždycky zcela jednoducho. Ak položíte grafem prímku rovnobežnou s osou x, musí protínat graf maximálne v jednom bode. Príkladem prosté funkce je napríklad lineární funkce y = 3x. Ať vezemte akúkoľvek prímku, vždy protne graf práve v jednom bode. Opakem je treba funkce sinus, jejíž graf tvorí jakési vlnky, takže ak položíte prímku rovnobežnou s osou x protínající osu y v bode 0,5, nájdete nekonečne mnoho prôsečíkô s grafem, tudíž to nie je funkce prostá.
 prostá funkce, prímka protíná graf v jednom bode - lineární funkce
|
 funkce nie je prostá, prímka protíná graf v nekonečno bodech - funkce sinus
|
Mimochodem ak bychom sa vrátili k zobrazení, tak môžeme prostou funkci nazvat ako injektivní zobrazení.
Funkce omezená
Funkce mohou být omezené a to shora omezené, zdola omezené anebo ako shora, tak zdola – takové funkci proste ríkáme funkce omezená. Funkce f je shora omezená, ak nalezeneme takové číslo A, pre které platí – pre všechna x z definičního oboru – f(x) ≤ A. Ak je tedy funkce shora omezená, musíme nájsť číslo, které bude vetší než všetky možné výsledky funkce, tedy vetší než akýkoľvek prvek z oboru hodnot. Na grafu si to môžete predstavit takto – ak najdete vodorovnou prímku a všetky body grafu sa nacházejí pod touto prímkou, je funkce shora omezená.
graf funkce omezené shora - obrácená exponenciální funkce Na tomto obrázku som vám naservíroval graf exponenciální funkce −(2x) + 1 (zelená čára). Jak je videt, funkce je to shora omezená, neboť jsme schopni nalézt vodorovnou prímku (to je ta hnedá čára), která bude nad grafem - celý graf sa nachází pod touto prímkou. Povšimnete si prosím, že nie je nutné, aby nalezená prímka byla jakousi „nejbližší prímkou”, stačí proste nalézt prímku jakkoliv vzdálenou od grafu, jež splňuje zadané podmínky. Ak už Samozrejme takovouto prímku nalezneme (v tomto prípade by to byla prímka y = 1), nalezli jsme supremum (pozor, supremum nie je prímo ta prímka, ale stále je to číslo, v tomto prípade tedy jednička).
graf funkce omezené zdola - kvadratická funkce Funkce zdola omezená sa definuje velice podobne - musíme nájsť takové číslo A, pre které platí - pre všechna x z definičního oboru - f(x) ≥ A. Je to ten samý prípad ako u shora omezené funkce, len hľadáte takové číslo, pre které platí, že všetky funkční hodnoty budú vetší, ne menší. V grafu poté hľadáte prímku, která bude zcela pod grafem. Na tomto obrázku vidíte graf funkce x2, která je zdola omezená, neboť jsme schopni nalézt ono číslo A (tu znázorneno prímkou y = −2), které bude menší než všetky funkční hodnoty grafu. Ak najdeme nejbližší číslo, nazývá sa Infimum.
Ak je funkce omezená shora i zdola, jedná sa o funkci omezenou. Jako hezký príklad môže posloužit periodická funkce sinus:
graf funkce omezené - funkce sinus
Minimum a maximum
Funkce môže mať na nejakém intervalu z definičního oboru lokální extrém, tedy buď lokální minimum alebo lokální maximum. Ak za dotyčný interval budeme počítat prímo definiční obor a nalezneme tu extrém, nejedná sa už o lokální maximum či minimum, ale o maximum a minimum celé funkce. Ak má být M lokální minimum, musíme být schopni nalézt takový interval (a, b), pre ktorý platí, že pre všetky x z intervalu (a, b) platí, že f(x) > f(M). Pro maximum N sa len vymení znaménko – f(x) < f(N).
Na grafu asi maximum a minimim funkce najdete docela snadno, podíváte sa proste, kde je funkce nejníže či nejvýše. Funkce Samozrejme samozrejme nemusí mať ani minimum ani maximum, či môže mať len minimum anebo len maximum, rovnako tak môže funkce mať len lokální extrémy, ale na celém definičním oboru nemít žádný extrém. Ješte je docela dôležité upozornit na to, že extrémy sa nepočítají na y-ové ose, ale na x-ové, tedy nalezneme-li souradnice nejvyššího bodu funkce na daném intervalu, maximum je x-ová souradnice tohoto bude, ne y-ová.
Inverzní funkce
Inverzní funkce je opačná funkce k nejaké jiné funkci. Zkrátka ak pôvodní funkce f zobrazuje prvky z množiny M do množiny N, pak inverzní funkce f−1 zobrazuje prvky z množiny N do množiny M. Ak máme napríklad lineární funkce y = 2x a y = ½x, sú to navzájem inverzní funkce, neboť keď do první rovnice dosadíme za x jedničku, vyjde nám y = 2. Ak tuto dvojku dosadíme do druhé funkce, po dlouhém výpočtu nám z funkce vyleze jednička. První funkce zobrazuje 1 → 2 a druhá funkce 2 → 1. Na grafu sa navzájem inverzní funkce projevují osovou soumerností podle osy prvního a tretího kvadrantu (jakoby grafu funkce y = x).
navzájem inverzní funkce - logaritmus a exponenciála