Počítání s procenty
Procenta jako část celku
Procenta obvykle označují nějakou relativní část z celku, přičemž celek jako takový se vyjádří jako 100 %. Pokud máte v košíku deset jablek, tak 100 % jablek z tohoto košíku odpovídá deseti jablkům. Procenta se dají vždy přepsat do zlomku. Jedno procento se rovná jedné setině celku. Deset procent se rovná deseti setinám celku, neboli zkráceně jedné desetině. Padesát procent je padesát setin, zkráceně jedna polovina. 50 % jablek z předchozího košíku je tedy polovina jablek, což je pět jablek.
Představte si, že Marcel vydělá za měsíc 10 000 korun. Nyní si spočítáme, kolik korun vydělá Libuna, vydělá-li pouze 50 % toho, co Marcel. Opět si to převedeme na zlomek, což je jedna polovina. Libuna tedy vydělá polovinu z toho, co Marcel. Matematicky to zapíšeme asi takto: ½ · 10 000 = 5 000 korun. Libuna vydělá pět tisíc korun. Nyní se do hry přidá Ondra, který vydělá 75 % toho, co Marcel. Zkusíme to spočítat alternativním a možná jednodušším způsobem. Pomůže nám klasická trojčlenka, kterou už jistě znáte. Takže víme, že sto procent je deset tisíc korun. Ptáme se, kolik korun odpovídá sedmdesáti pěti procentům. Trojčlenku sestavíme asi takto:
↑100 %.............10 000kč↑ 75 %..............x kč
Trojčlenku vyřešíme jednoduše, dostáváme takovýto zlomek:
| x | = | 10 000·75 | = 7 500 |
| 100 |
Můžeme si to představit takto: Nejprve vydělíme 10 000/100, čímž zjistíme, kolik korun odpovídá jednomu procentu. To bude akorát stokoruna. Nyní tuto stokorunu, která se rovná jednomu procentu, vynásobíme sedmdesáti pěti, čímž zjistíme, kolik korun odpovídá 75 %. Opět nám vyjde 7 500.
Více než sto procent
Před chvílí jsem zavedl jakousi definici procent jako „část celku”, což hned v této sekci zase trošičku popřu :-). Procenta totiž mohou vyjadřovat i větší část, než je výchozí celek. Vraťme se k předchozímu příkladu s Marcelovým desetitisícovým výdělkem. Na scéně se totiž objevuje Jindra, zámožný podnikatel, který vydělává 350 % toho, co Marcel. Je to vůbec možné? Jistě, je. Víme-li, že procenta můžeme převést na zlomek s tím, že sto procent se rovná jedna (zlomek 1/1), můžeme i tento výraz v procentech přepsat na zlomek. Bude to konkrétně číslo 3,5 (ve zlomku 350/100 = 3,5). Z toho vyplývá, že Jindra vydělává 3,5 krát víc než Marcel, 35 000. Slušný boháč.
Vyzkoušíme si ještě druhý způsob. Opět si vypočítáme, kolik odpovídá jednomu procentu. To se nezměnilo, Marcel vydělává stejně, takže jedno procento jeho platu je stále stokoruna. Nyní tuto stokorunu vynásobíme 350 krát, abychom zjistili, kolik korun odpovídá 350 % Marcelova platu. Bude to opět 35 000.
A co když známe část a neznáme celek?
V předchozích příkladech jsme vždy počítali s tím, že známe přesnou hodnout celku a máme z ní vypočítat určitou část udanou v procentech. Co když ale známe právě tu část a neznáme celek? Příklad: Tomáš má 120 magických kartiček s velkou zelenou obludou. Nicméně i přes to, že je to úctyhodný počet kartiček zelených oblud, má stále pouze šedesát procent kartiček oproti Janě. Kolik kartiček má Jana?
Zde známe část, ale neznáme celek – ten máme teprve dopočítat. V tuto chvíli víme, že 120 kartiček odpovídá 60 %. Abychom zjistili, kolik kartiček odpovídá jednomu procentu, stačí nám vydělit těch stodvacet šedesáti. Dostaneme dvojku 120/60=2. Jedno procento kartiček jsou ve skutečnosti dvě zelenoobludné kartičky. Protože počítáme celek – a ten je vždy 100 % – vynásobíme tento počet kartiče stovkou. A máme dvě stě kartiček, což je správný výsledek.
Sčítání procent
Máme-li spočítat nějaký příklad, kde se vyskytují procenta, vždy je nejlepší, když si místo procent vypočítáme přesné hodnoty a ty poté sečteme. Takže zadání úkolu by mohlo znít nějak takhle: Martin vydělává 15 000, Stanislav 20 000 a Lucka 25 000 korun. Nyní vypočítejte, kolik korun vydělává Simona, která vydělá 30 % toho, co Martin + 40 % toho, co Stanislav + 25 % toho, co Lucka.
Zde máme tři výrazy s procenty, ale každý výraz pochází z jiného celku. Martin, Stanislav a Lucka vydělají každý rozdílnou sumu peněz. Takže nejprve si spočteme 30 % platu Martina. To je 15 000/100 = 150. Následně vynásobíme 150 · 30 a dostáváme 4 500. Dále je na řadě 40 % platu Stanislava. To je 20 000/100 = 200. Opět to vynásobíme 40 a máme 200 · 40 = 8 000. Poslední část je 25 % od Lucky. Ta vydělá 25 000, z toho jedno procento je 25 000/100 = 250. Vynásobením 25 dotáváme 250 · 25 = 6 250. Teď už pouze všechny dílčí výsledky sečteme: 4 500 + 8 000 + 6 250 = 18 750. Simona vydělá 18 750 korun, což je docela hezký výdělek.
Nicméně se nám může stát, že opravdu budeme sčítat procenta. Procenta můžeme sčítat pouze v případě, že mají stejný základ, stejný celek. Takže pokud by třeba Kuba vydělal 20 % toho co Stanislav + 30 % toho, co Stanislav, můžeme ta procenta sečíst, protože se jedná o stejný základ – oba výrazy počítají se základním platem Stanislava. Výsledek tedy bude 20 % + 30 % = 50 %. Kuba vydělá polovinu toho, co Stanislav, deset tisíc.
Zrádné kaskádovité sčítání procent
Teď si představte následující situaci: Milan vydělal první rok 10 000. Druhý rok ale dostal přidáno a zvýšili mu plat o 30 %. Další, třetí, rok dostal opět přidáno a zase mu zvedli plat, i když tentokrát jen o 10 %. Otázka zní, jaký má nyní Milan plat?
Tenhle typ příkladů strašně svádí k tomu posčítat procenta stejně jako v předešlém případě. Vždyť stále – zdánlivě – počítáme se stejným základem, s milanovým platem. Takže spočítáme 30 % + 10 % a přičteme to k jeho základnímu platu. Milan by tak vydělával 14 000 korun. Jenže ono to tak není. Projdeme si to.
V prvním roce dostával 10 000. V druhém roce dostával 10 000 + 30 %. Což je 13 000, jak jistě již sami spočítáte. A nyní v dalším roce mu zvedli plat o deset procent. Jenže pozor! Základ již není oněch deset tisíc, které měl první rok. Základ je již třináct tisíc! A jak víme, sčítat procenta můžeme jen v případě, že se ta procenta počítají ze stejného základu. A v našem případě je základ různý. Poprvé to bylo 10 000 a nyní to je 13 000. Takže poslední rok dostával Milan 13 000 + 10 %, což je 14 300.
Promile
Promile se nejčastěji používají při měření alkoholu v krvi řidiče. Někteří lidé se mylně domnívají, že promile je tisícina z procenta, ale to je chyba, pozor na to. Promile je tisícina z celku. Jinak se s promilí počítá úplně stejně jako s procenty. Tedy pokud máte na skladě dva tisíce kouksů ovoce a chcete zjistit, kolik z toho je dvacet promilí, vypočítáte se jednu promili jako 2000/1000 a následně to vynásobíte dvaceti: 2 · 20 = 40.
Typografie procent
Je rozdíl mezi zápisy „100 %” (s mezerou) a „100%” (bez mezery). Verze s mezerou znamená „sto procent”, kdežto verze bez mezery znamená „stoprocentní”. Myslete na to, prosím, při psaní a příliš se nevzrušujte v případě, kdy to v novinách budou mít blbě :-).
Příklady
#1 Nový MP3 přehrávač stál v obchodě 2 500. Protože ho nikdo za tu cenu nechtěl, zlevnili ho o 30 %. Následně zase šla MP3 na dračku, takže podnik přehrávač zdražil o 30 %. Kolik nyní přehrávač stojí?
No jo, to je klasický příklad ze všech možných učebnic, tak proč ho nedat i tady, že jo?
Je to podobný typ příkladu, jaký jsem uvedl v textu. Sice se zdá, že pracujeme pokaždé se stejným základem, ale není tomu tak. V prvním případě stojí přehrávač 2 500. V tuto chvíli ho zlevníme o 30 %. 30 % z 2 500 je 750, přehrávač v tuto chvíli stojí 1 750 korun. Teď ho zdražíme o 30 %. V tento zákeřný moment je nutné si uvědomit, že už nepracujeme se základem 2 500, ale s cenou 1 750, která nám určuje základ. Takže počítáme 1 750 + 30 %. 30 % z 1 750 je 525. Tuto sumu přičteme k základu a dostáváme 2 275. Tolik stojí přehrávač po zlevnění a následném zdražení, toto je správný výsledek.
#2 Michalův čistý plat byl 15 620. Tento čistý plat získal, když ze svého hrubého platu zaplatil daň a hypotéku na barák. Daň byla 19% a hypotéka mu sebrala 10 % z jeho platu. Jaký je Michalův hrubý příjem (tedy příjem předtím, než zaplatí daň a hypotéku)?
Tenhle příklad je zase trochu ze života. Jako první musíme zjistit, zda se ta procenta budou počítat ze stejného celku nebo ne. V tomto případě se totiž budou počítat ze stejného celku – z námi hledaného hrubého platu. Můžeme je tedy posčítat: 19 % + 10 % = 29 %. Z tohoto již můžeme vyčíst, že michalův čistý plat 15 620 je 71 % jeho hrubého platu (100 − 29). Vydělíme jeho čistý plat 71, čímž zjistíme jedno procento jeho hrubého příjmu a následně to vynásobíme stovkou. A máme výsledek. 15 620/71 = 220 a 220 · 100 = 22 000. Michalův hrubý příjem činí 22 000 korun.