Posloupnosti a řady

Posloupnost můžeme určit několika různými způsoby. Prvním je prostý výčet prvků. Například jednoduchá posloupnost sudých čísel by se výčtem dala zapsat takto: 2, 4, 6, 8, 10… Další možností je vzorec pro ntý člen. Stejná posloupnost by se dala zapsat takto: a_n = 2n. Dolní index n nám značí, který člen posloupnosti zrovna máme na mysli. Například zápis a₃ znamená třetí člen posloupnosti a podle uvedeného vzorce by třetí člen byl 2 * 3, což je šest a to je třetí sudé číslo. Vše tudíž sedí jak má. Nejveselejší obvykle bývá určení pomocí rekurze. Rekurze funguje tak, že určíte následující člen pomocí předchozího a prvního členu posloupnosti. Posloupnost sudých čísel tedy lze rekurentně zapsat takto: a₁ = 2; a_n+1 = a_n + 2. Mimochodem znáte ten vtip o rekurzi? Pokud chcete nyní zjistit druhý člen posloupnosti, jednoduše doplníte za n jedničku a počítáte: a₁₊₁ = a₁ + 2 po dosazení vyjde a₂ = 2 + 2 a to se rovná čtyřem. Což sedí, druhé sudé číslo je právě čtyři. Poslední možnost vyjádření posloupnost je graficky. Grafem posloupnosti je vždy množina samostatných navzájem izolovaných bodů. Hezká ukázka jak takový graf vzniká najdete na stránkách UTB.

Nyní už přejděme od obecných věcí ke konkrétním. Posloupnosti dělíme do dvou skupin – aritmetické a geometrické.

Aritmetická posloupnost je jednoduchá posloupnost, kdy je mezi jednotlivými členy posloupnosti stálý rozdíl. Každý následující prvek je například větší o tři či třeba menší o sedmnáct. Rozdíl, o kolik je jednotlivé prvky posloupnosti odlišují, se nazývá diference (značíme d). V prvním případě by byla diference tři, v druhém mínus sedmnáct a v případě posloupnosti sudých čísel by byla diference dva. Vzorcem by se tedy aritmetická posloupnost dala zapsat takto: a_n + 1 = a_n + d. Obecný vzorec pro výpočet ntého členu aritmetické posloupnosti je poté a_n = a₁ + (n − 1­)d. Pokud byste například měli dokázat, jestli je tato posloupnost (2n +7)_n =1 aritmetická, postup by byl následující:

an = 2n + 7
an + 1 = 2(n + 1) + 7
an + 1 − an = 2n + 9 − 2n − 7 = 2

Diference je dva, jedná se o aritmetickou posloupnost. Tak teď ještě pár dalších užitečných vzorečků. Začneme součtem prvních n členů posloupnosti. Vzoreček je to docela logický, prostě sečtete první a poslední člen posloupnosti a číslo vynásobíte polovinou počtu prvků posloupnosti. Matematicky bychom to zapsali takto: S_n = (n / 2) * (­a₁ + a_n). Druhý vzorec pak popisuje způsob, jak vypočítat diferenci či libovolný člen posloupnosti, pokud neznáte první člen: a_r − a_s = (r − s­)d.

Geomtrická posloupnost se od předchozí aritmetické liší tím, že dva sousední členy nemají stejný rozdíl, nýbrž podíl. Tomuto podílu se poté neříká diference jako v případě aritmetické posloupnosti, ale kvocient (značíme q). Takže jednoduchá geometrická posloupnost by třeba mohly být mocniny desíti – 10, 100, 1000… Kvocient by zde byl pochopitelně deset, neboť po dosazení do vzorečku q = a_n + 1 / a_n dostaneme například q = 1000 / 10­0 = 10. Z těchto vzorečků už můžeme pomalu odvodit rekurentní vzorec geometrické posloupnosti: a_n + 1 = a_n × q (prostě vynásobíte jeden člen kvocientem a dostanete následující člen – pokud byste chtěli předchozí člen, místo násobení budete dělit). Vzorec pro obecný člen goniometrické posloupnosti poté je a_n = a₁ × q^n − 1.

Geometrické posloupnosti můžeme ještě rozdělit do dalších dvou skupin a sice podle toho, jaký mají kvocient. Pokud totiž bude absolutní hodnota kvocientu menší než jedna, bude celá posloupnost klesat k nule. Takováto posloupnost se tedy nazývá konvergentní. Naopak pokud bude absolutní hodnota kvocientu větší než jedna, bude posloupnost chvátat k nekonečnu a říká se jí divergentní posloupnost. Pro konvergentní posloupnost poté platí jednoduchý vzorec pro součet celé řady (platí pouze pro konvergentní, protože divergentní se blíží k nekonečnu a tak její součet je de facto nekonečno): s = a₁ / 1 −q.