Množiny

Dvě množiny M a N jsou stejné, právě tehdy když všechny prvky obsažené v M jsou obsaženy i v N a naopak. Dále můžeme také definovat pojem podmnožina. Podmnožina N množiny M je taková množina, jejíž všechny prvky se zároveň nacházejí i v množině M. Všimněte si, že se klidně může stát, že tyto dvě množiny budou stejné. Ony se koneckonců shodné množiny dají definovat i pomocí podmnožin: množiny M a N jsou shodné, jestliže N je podmnožina M a zároveň je M podmnožina N.

Množinu můžeme zadat dvěma způsoby a sice buď výčtem prvků anebo charakteristickou vlastností. Výčtem prvků by zápis vypadal takto: A = {1, 2, 3}, charakteristickou vlastostí takhlenc: A ={x|x  Z; x  <0, 7>} (x bereme z celých čísel a z uzavřeného intervalu nula až sedm, výsledkem tedy budou celá čísla od nuly do sedmi, včetně).

Množina obsahuje každý prvek pouze jednou a nezáleží na pořadí prvků. Tedy množina FŇ={a, a, b, a, b, a, b} a množina KŘ={a, b} jsou stejné.

V matematice se velice často pracuje s určitými množinami, které si teď popíšeme.

Množina přirozených čísel se obvykle značí N a jedná o „celá kladná čísla“. Tato množina je uzavřena pro operace násobení a sčítání, což znamené, že ať vezmeme jakékoliv dvě čísla z N a vynásobíme je či je sečteme, získáme opět přirozené číslo. Toto neplatí pro odčítání (dva minus pět je číslo záporné – není přirozené) a dělení (deset děleno třemi není číslo celé). Množina přirozených čísel je dále nekonečná a spočetná. Přirozená čísla jsou podmnožinou celých čísel. Příklad celých čísel: 1, 6, 123. Někdy se udává i nula.

Celá čísla značíme Z. Celá čísla jsou uzavřená operacím sčítání a násobení, stejně jako přirozená čísla, ale nově také odečítání, neboť obsahují i zápornou část. Stále zde nefiguruje dělení, protože jsme schopni najít podíl dvou celých čísel, jejichž výsledek již celé číslo není. Celá čísla jsou opět nekonečná, ale spočetná množina. Příklad celých čísel: −5, 34, −354.

Racionální čísla jsou všechna čísla, která můžeme zapsat zlomkem a značíme je Q. Racionální čísla má již uzavřené operace sčítání, odčítání, násobení ale již také dělení (vyplývá z definice, kterou jsem uvedl před chvílí). Racionání čísla jsou opět nekonečná a spočetná množina. Příklad: 3, −54.12, 10 / 7. Ještě bych se zmínil o Iracionálních číslech, což jsou čísla, která nelze zapsat zlomkem – mají nekonečný neperiodický desetinný rozvoj. Příkladem budiž veleznámé Ludolfovo číslo Pí – 3,1415 …a tak dále (kdo se ho naučí nazpaměť, má u mě pivo).

Reálná čísla se značí R a zahrnují v sobě jak Racionální čísla, tak Iracionální čísla. Jsou to tudíž čísla, které lze teoreticky zapsat pomocí nekonečně dlouhým desetinným zápisem. Tato množina již spočetná není.

Poslední množinou jsou komplexní čísla, která jsou natolik zvláštní, že se jim věnuji v samostatném článku. Prozatím zmíním, že komplexní čísla mají dvě složky – reálnou a imaginární část. Velice často se komplexní čísla používají tam, kde nám již nestačí množina Reálných čísel, například při odmocňování záporného čísla. S tím si komplexní čísla hravě poradí ;-).

Stejně jako můžeme operovat se samotnými čísly, můžeme provádět všemožná kouzla i s množinami. Ovšem množinové operace jsou mírně odlišné od těch normálních. Jako první se zmíním o sjednocení množin (značíme symbolem U). Sjednocením dvou množin M a N vznikne nová množina A, která bude obsahovat všechny prvky z množiny M a také všechny prvky z množiny N. Matematičtěji řečeno, bude obsahovat prvky náležící do M nebo náležící do N. Ukázkový příklad: Mějme dvě množiny N = {1, 3, 5, 7} a M = {2, 4, 6} poté M U N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Další množinovou operací je průnik množin (značíme ∩). Průnikem dvou množin M a N vznikne nová množina A, která bude obsahovat prvky, které mají ty dvě množiny společné. Přesněji bychom řekli, že nová množina bude obsahovat prvky, které náleží do M a zároveň náleží do N. Jednoduchý příklad na pochopení: Nechť jsou dány tyto dvě množiny: F = {27, 7, 2} a G = {5, 7, 9} potom F ∩ G = {7}.

Třetí operací je rozdíl, což je tak trochu opak ke sjednocení. Rozdíl množin značíme standardním symbolem pro minus − anebo takovým šikmým minus \. Rozdílem dvou množin M a N chápeme takovou množinu, která bude obsahovat všechny prvky z M a zároveň nebude obsahovat žádný prvek z N. Zkrátka se kouknete, které prvky má první množina společná s druhou a ty poté odstraníte. Toť vše. Příklad: Q = {4, 8, 12} a X = {2, 4, 6, 8, 10} poté Q − X = {12}.

Další důležitá operace je doplněk množiny. Značí se to všelijak, ale asi nejčastěji čárkou ′. Doplněk množiny M tvoří všechny prvky, které nenáleží do množiny M. Obvykle se ještě určuje, do které množiny se doplněk počítá. Mějme tedy množiny: P = {1, 2} a O = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Poté doplněk množiny P do O nám dává množinu s prvky {3, 4, 5, 6, 7}.