Lineární rovnice
Lineární rovnice je taková rovnice, kterou můžeme upravit na tvar ax + b = 0, kde a, b 
R. Konkrétní příklad by mohl vypadat třeba takto: 2x + 4 = 0. Řešením této rovnice je číslo −2, což se dá asi docela logicky vydedukovat. Pokud by tam byly trochu větší čísla, už by ona dedukce nebyla tak jednoduchá, takže to bude chtít nějaký konkrétnější postup.
Při výpočtu lineární rovnice můžeme použít mnoho různých ekvivalentních úprav (to jest takové úpravy, které nezmění výsledek rovnice - například umocnění je neekvivalentní úprava, která by výsledek změnila a bylo by nutné provádět zkoušku, což při použití ekvivalentních úprav není nezbytně nutné). První a asi nejpoužívanější úprava je přičítání výrazů k oběma stranám rovnice. Neboli „přehazování“ výrazů na druhou stranu rovnice s opačným znaménkem. Předchozí rovnici bychom tedy mohli upravit takto: 2x = −4. Teď už jen stačí podělit celou rovnici dvojkou a vychází nám výsledek x = −2. Z toho se dá také odvodit poměrně jednoduchý vzorec: x = −b / a.
Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
Obdobně se dá i řešit lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli. Ovšem místo dělení tentokrát použijeme násobení. Takže máme takovouto rovnici: 
. Pokud celou tuto rovnici vynásobíme jmenovatelem, tj. proměnnou x, dostaneme takovouto rovničku: 30 = 6x. Tohle už je jednoduchá lineární rovnice, stačí podělit šesti a vyjde výsledek x = 5.
Lineární rovnice s absolutní hodnotou
Máme-li v lineární rovnici nějaký výraz (respektive proměnnou) v absolutní hodnotě, začínají už mírně komplikovanější počty. Musíme totiž počítat ve vícero intervalech. Máme-li jeden výraz v absolutní hodnotě, vyjdou nám dva intervaly, pokud pracujeme se dvěma výrazy pod absolutní hodnotou, skončíme u tří intervalů a tak dále. Abychom určili ony osudné intervaly, je nutné nejprve zjistit nulové body. Nulový bod je takový bod, při jehož dosazení se výraz v absolutní hodnotě rovná nule. Tento bod je pak hranice mezi tím, kdy je výraz kladný (a kdy se tedy nemění znaménko kvůli absolutní hodnotě) a kdy je záporný (kdy se mění znaménko na kladné). V těchto intervalech poté řešíme rovnici zvlášť a výsledky sjednotíme.
Takže teď už trošku konkrétněji, dáme si nějaký příklad. Máme následující rovnici 3 + 2|x − 5| = 6. Nulový bod výrazu v absolutní hodnotě určíme snadno:
x − 5 = 0 x = 5
Dostali jsme tedy dva intervaly: (−∞, 5) a <5, ∞). V prvním intervalu je výraz záporný, v druhém kladný. Nyní tedy vypočítáme rovnici v prvním intervalu (−∞, 5). Odstraníme absolutní hodnotu a obrátíme znaménka, neboť v tomto intervalu je výraz záporný a tudíž nám absolutní hodnota převrací znaménka:
3 + 2(−x + 5) = 6 (nyní řešíme jako prostou lineární rovnici) 3 − 2x + 10 = 6 −2x = −7 x = 3,5
Jeden výsledek bychom tedy měli, jen musíme zkontrolovat, zda výsledek odpovídá intervalu, ve kterém pracujeme. Vybíráme totiž x z intervalu (−∞, 5) a je tedy jasné, že pokud by vyšel výsledek například sedm, nemohl by to být platný výsledek, protože sedmička se nenachází v tomto intervalu.
Nyní vypočítáme výsledek v druhém intervalu tedy <5, ∞) (znaménka se nemění, pohybujeme se v kladném intervalu):
3 + 2(x − 5) = 6 3 +2x −10 = 6 2x = 13 x = 6,5
A je na světě druhý výsledek, který opět náleží do intervalu, ve kterém se momentálně pohybujeme. Výsledek celé rovnice je tedy sjednocení těchto dílčích výsledků, tedy rovnice má dvě řešení K ={3,5; 6,5}. Pokud si tyto dva výsledky dosadíte do původní rovnice, musí se vám obě strany po výpočtu rovnat.
Lineární rovnice s parametrem
Lineární rovnice s parametrem je normální rovnice, která ale obsahuje kromě proměnné x i parametr p. Při řešení těchto rovnic hledáme kořeny v závislosti na hodnotě parametru. V zásadě mohou nastat dva případy - buď nám parametr „vyruší“ proměnnou x nebo ne :-). Tak a teď už konkrétně.
Máme tedy takovýto příklad:
(2p + 2)x − 6 = 0
Podobně jako u lineární rovnice s absolutní hodnotou musí zjistit, kdy se celý výraz s parametrem rovná nule, protože pak nám z rovnice zmizí proměnná x. To nastane v případě, kdy se p = −1. Rovná-li se tedy parametr mínus jedné, nemá rovnice řešení (−6 ≠ 0) a pokud se nerovná mínus jedné, má rovnice řešení 
, respektive po úpravě 
. Toť vše.
Příklady
První příklad: Spočítejte následující lineární rovnici: 2·(x − 7) = 6.
Jako první roznásobíme závorku:
2·(x − 7) = 6 2x − 14 = 6
Nyní na levé straně ponecháme výraz s neznámou a na pravou stranu převedeme všechno ostatní:
2x − 14 = 6 2x = 20
…a nakonec vydělíme dvěma.
2x = 20 x = 10
Druhý příklad: Spočítejte rovnici 3·(3 − x) + 5·(x − 2) = 0.
Opět si jako první roznásobíme závorky:
3·(3 − x) + 5·(x − 2) = 0 9 − 3x + 5x − 10 = 0
Sečteme, co sečíst lze a převedeme proměnné na levou stranu a zbytek na pravou stranu:
9 − 3x + 5x − 10 = 0 2x − 1 = 0 2x = 1
Nakonec vydělím celou rovnici dvěma:
2x = 1 x = ½
Další zdroje
Líbil se vám článek? Odkažte na něj! Máte připomínky? Napište mi a pomozte vylepšit tento web! Nevíte si s něčím rady? Zeptejte se ve fóru!