Komplexní čísla jsou jakousi nádstavbou čísel reálných, neboť v oboru reálných čísel můžeme dělat velké lumpárny, ale nepodaří se nám odmocnit záporné číslo. Určitě si pamatujete, že pokud jste počítali kvadratickou rovnici a vyšel vám záporný diskriminant, prohlásili jste, že rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. S příchodem komplexních čísel se ovšem situace mění a rovnici můžete dopočítat. Komplexní čísla totiž zvládají odmocnit i záporné číslo.
Od běžných čísel se ty komplexní liší především v tom, že obsahují dvě části – reálnou a imaginární. Komplexní číslo je tedy dvojice uspořádaných čísel [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část. Pokud je reálná část nulová, jedná se o ryze imagirnání komplexní číslo. Komplexní čísla se běžně zapisují pomocí písmene z.
Komplexní čísla můžeme také převést na běžnější algebraický tvar, který vypadá takto: a + bi, kde a, b jsou reálná čísla a písmeno i značí onu zásadní imaginární jednotku. S přihlédnutím k předchozímu zápisu můžeme napsat, že a = x a b = y.
Z každého komplexního čísla můžeme udělat číslo komplexně sdružené. Je to velice jednoduché, komplexně sdružené číslo získáme, když změníme znaménko u hodnoty imaginární složky. Máme-li komplexní číslo 132 + 31i, číslo komplexně sdružené je 132 − 31i. Komplexně združené číslo se běžně zapisuje jako zet s pruhem – je to prostě písmeno Z a nad ním vodorovný pruh.
Existuje též opačné komplexní číslo, což se od komplexně sdruženého čísla liší tím, že znaménko prohodíme i u reálné části. Z a + bi dostáváme −a − bi.
Sčítání komplexních čísel pobíhá vcelku jednouše, protože stačí pouze sečíst reálnou část prvního čísla s reálnou částí druhého čísla a to samé s imaginární částí (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Není na tom nic nepochopitelného a nelogického. V praxi by to vypadalo takto: (2 +5i) + (3 + 2i) = 5 + 7i. Odečítání probíhá analogicky.
Násobení komplexních čísel už tak jednoduché není, budete si muset zapamatovat vzoreček. Máme-li dvě komplexní čísla a + bi a c + di, jejich součin získáme takto: (ac − bd) + (ad + bc)i. Příklad: (13 −3i) · (6 +2i) = (78 +6) + (26 − 18)i = 84 + 8i.
Nyní se trochu blíže podíváme na imagirnární část komplexního čísla, tedy na to magické i. S tímhle písmenkem se totiž dají dělat hotové divy. Abyste mohli odmocnit záporné číslo, musíte z něj udělat číslo kladné a přesně k tomu nám slouží imagirární složka a trocha magie. Možná to bude znít trochu divně, ale i2 = −1. Pokud umocníte i na druhou, získáváte minus jedničku. Pomocí tohoto princupu snadno odmocníme i záporné číslo, protože záporné číslo −a můžeme zapsat jako a · i2. Nyní pouze odmocníme kladné číslo a a odmocníme i2, což je pochopitelně i. Výsledek tedy je i√a.
Všechny mocniny i vypadají takto:
Jak vidíte, cyklicky se to opakuje, pěkně po čtyřech mocninách. Pokud tedy máte někde v příkladu vyšší mocninu, stačí jí pouze vydělit čtyřmi a počítat dále se zbytkem. Například i34 → 34/4 = 8 (2). Zbytek je dva, takže dostáváme tento zápis i34 = i2 = −1. Ještě jeden příklad: i99 → 99/4 = 24 (3) → i99 = i3 = −i.
Nyní již můžeme vypočítat i kvadratickou rovnici se záporným diskrimantem, například x2 + 4× + 5 = 0. Diskriminant je roven −4 a rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. Nyní výsledek přepíšeme do komplexního čísla takto: 4i2. S tímto číslem již můžeme pracovat ve vzorečku pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. Vychází nám toto číslo: (−4 ± i√4)/2. Výsledné kořeny tedy jsou −2 + i a −2 − i.
Ostatní čísla jste jistě byli zvyklí znázorňovat na jednoduchou číselnou osu. Jenže vzhledem k tomu, že komplexní čísla mají dvě složky, není možné je zapsat na jednu osu, ale jsou třeba osy dvě. Dostáváme tak rovinu, konkrétně Gaussovu rovinu, ve které se vyskytuje kartézský souřadnicový systém. Ose x říkáme reálná osa (nanáší se na ni reálná část komplexního čísla) a ose y imaginární osa (nanáší se na ni imagirnání část komplexního čísla). Prohlédněte si názorný obrázek, který vše shrnuje.
Nyní již můžeme docela jednoduše definovat absolutní hodnotu komplexního čísla. Absolutní hodnota tedy je vzdálenost souřadnice komplexního čísla od počátku souřadnicového systému. Absolutní hodnotu zapisujeme takto: |z|. Výpočet absolutní hodnoty vychází z definice Pythagorovy věty, takže |z| = √(a2 + b2). Umocníte reálnou část, umocníte imagirnání část, sečtete a součet následně odmocníte. Tím získáte absolutní hodnotu komplexního čísla.
Ne vždy se vyplatí mít komplexní číslo v algebraickém tvaru a proto se zavádí ještě goniometrický tvar komplexního čísla. Komplexní číslo v rovině totiž můžeme vyjádřit buď pomocí jejich souřadnic (=algebraický tvar) anebo pomocí velikost úhlu, který svírá úsečka, vzniklá spojením bodu komplexního čísla a počátku souřadnicového systému a vzdálenosti od počátku systému (=absolutní hodnota)
Goniometrický tvar komplexního čísla vypadá takto: z = |z|(cos φ + i·sin φ). Teď už jen zbývá zjistit, jak se k takovémuto tvaru dostaneme. Z grafického znázornění komplexního čísla můžeme vyčíst, že cos φ = a/|z| a sin φ = b/|z|.
Příklad: Převeďte komplexní číslo 6 − 6i. Jako první si nyní spočítáme |z|, absolutní hodnotu čísla. Ta se rovná √72, což můžeme upravit na 6√2 (nejprve číslo převedeme na √(36·2) a poté odmocníme šestku a dvojku ponecháme). Nyní musíme spočítat hodnotu φ. Víme, že cos φ = a/|z|, po dosazení dostáváme cos φ = 6/6√2 = 1/√2 = √2/2. Z tohoto nám vychází, že φ se rovná buď π/4 anebo 7π/4.
Teď se vrhneme na druhou část. Víme, že sin φ = b/|z|, po dosazení dostáváme sin φ = −6/6√2, po úpravách vychází sin φ = −√2/2. Hodnota φ může nabývat hodnot 5π/4 nebo 7π/4. Vidíme, že sinus i kosinus mají stejný výsledek při hodnotě φ = 7π/4.
Goniometrický tvar vypadá takto: 6√2(cos 7π/4 + i·sin 7π/4).
