Matematika polopatě

Goniometrické rovnice

Základní goniometrická rovnice

Základní tvar goniometrické rovnice je sin α = a. Samozřejmě namísto sinu můžeme mít jakoukoliv jinou goniometrickou rovnici, například kosinus, tangens či kotangens. Výsledek často závisí na tom, v jakém definičním oboru se zrovna pohybujeme. Jak již jistě víme, goniometrické funkce jdou do nekonečna. Definiční obor takové funkce sinus je R. A vzhledem k tomu, že jsou to funkce periodické, je jasné, že výsledky se tam budou opakovat. Například sin x = 0. Kdy se sinus rovná nule? Letmým kouknutím na graf funkce sinus…

…zjistíme, že sin x se rovná nule docela často. Konkrétně pro hodnoty 0, π, 2π, −π… Zkrátka jsou to násobky Ludolfova čísla. Většinou to zapisujeme takto: K·π, kde K je celé číslo.

Připomeňme však, že sinus a kosinus mají obor hodnot v intervalu <−1, 1>, tedy rovnice sin x = 2 nemá žádné řešení, protože nejsme schopni nalézt takové x, pro které by výraz sin x měl hodnotu větší než jedna. Samozřejmě rovnice 3sin x = 2 již řešení má, protože můžeme celý výraz podělit trojkou a na pravé straně již bude číslo menší jedničce.

Jednoduché goniometrické rovnice řešíme tak, že například z grafu či z jednotkové kružnice vyčteme jejich hodnotu a zjistíme periodu, kterou k výsledku přičteme. Příklad:

sin x = ½ – Zde budeme postupovat jednoduše. Graf sinu máme nahoře, takže se koukneme, kdy má křivka hodnotu ½. Zjistíme, že je to v případě 1/6π a 5/6π. Důrazně doporučuji naučit se základní tabulkové hodnoty goniometrických funkcí, bez nich vám ani kuk do grafu nepomůže. Funkce sinus má základní peridou 2π, takže k předchozím dvěma výsledkům přičteme ještě 2Kπ. K je opět celé číslo. Celý výsledek tudíž bude: K = {1/6π + 2Kπ; 5/6π + 2Kπ}. Přičtením Kπ obsáhneme všechny možné výsledky této rovnice. Například z grafu lze vyčíst, že rovnice bude jisto jistě platit pro 13/6π. Když si veme první výsledek – 1/6π + 2Kπ – a za K dosadíme jedničku, dostáváme přesně tentýž výsledek.

Nejprve se podíváme na graf funkce kosinus:

Jasně vidíme, že kosinus vychází na jedničku v nule a násobcích dvou pí. Takže výsledek bude jednoduchý: K={2Kπ}.

Substituce

Pokud máme ve funkci nějaký nesmysl, můžeme použít substituci, nahrazení. Například chceme-li spočítat výsledek rovnice sin 2x = 1, nahradíme si (provedeme substituci) a = 2x a dále již počítáme s rovnicí ve tvaru sin a = 1 stejně jako jsme si ukázali v předchozí kapitole. Pozor – tuto rovnici nemůžeme vydělit dvěma: sin 2x = 1 ≠ sin x = ½, to by ta dvojka musela být přímo u toho sinu. Vyjde nám, že sinus se rovná jedné při hodnotě π/2 + 2Kπ. Nyní nachází čas vzpomenout si na naši substituci – musíme jí vrátit zpět: 2x = a, odtud 2x = π/2 + 2Kπ, pokrátíme dvěma a máme x=π/4 + Kπ. To je výsledek našeho snažení: K = {x=π/4 + Kπ}.

3x − π/2 = a
3x − π/2 = Kπ
3x = Kπ + π/2
x = Kπ/3 + π/6

Vzorce

Připočítání s goniometrickými rovnicemi se často využívají nejrůznější vzorce, které byste měli znát. Některé jsou základní, jiné už jsou složitější. Uvedu zde přehled všech podstatných vzorců a dále naleznete ukázkové příklady.

Vzorce si prosím pro přehlednost stáhněte ve formátu PDF – Goniometrické vzorce [PDF].

Příklady

sin 4x = 0  / provedeme substituci 2x = a
sin 2a = 0  / rozložíme podle vzorce
2sin a cos a = 0

sin a = 0  			cos a = 0
a = Kπ      			a = Kπ + π/2

2x = a				2x = a
x = a/2				x = a/2
x = Kπ/2			x = Kπ/2 + π/4

1 − sin2 x − sin x = 1
sin2 x + sin x = 0
sin x(sinx + 1) = 0

sin x = 0
x = {0, π, 2π}

sin x + 1 = 0
sin x = −1
x = 3π/2