Determinanty

Abychom mohli nadefinovat determinant, budeme muset vědět, jak vypočítat permutaci množiny, respektive zmanénko permutace. Nejlépe to vysvětlím na příkladu. Mějme množinu {1, 2, 3}, která se zobrazuje na množinu {2, 3, 1}. Obvykle to v případě permutací přepisujeme takto:

Nyní musíme zjistit, kolik různých prohození čísel jsme museli použít, abychom z první množiny dostali druhou množinu. Přičemž prohazovat smíme pouze čísla vedle sebe. Takže máme množinu {1, 2, 3}. Nyní prohodíme jedničku s dvojkou: {2, 1, 3}. Teď prohodíme jedničku s trojkou: {2, 3, 1}, čímž už získáme hledanou permutaci. K získání obrazu jsme potřebovali dvě prohození. Znaménko permutace zjistíme jednoduše — pokud je počet prohozů sudý, je znaménko kladné. Pokud je počet lichý, je znaménko záporné. V našem případě se tudíž jedná o kladné znaménko permutace. Zkusíme ještě určit znaménko permutace u tohoto příkladu:

Budeme postupovat následovně: {4, 2, 3, 1} → {4, 2, 1, 3} → {4, 1, 2, 3} → {1, 4, 2, 3} → {1, 4, 2, 3} → {1, 4, 3, 2} → {1, 3, 4, 2}. Úprava je hotová. Potřebovali jsme celkem šest úprav, takže máme zase štěstí na permutaci se sudým znaménkem.

Permutaci označujeme nějak takhle (ta nula je tam v případě, kdy daná množina není permutace vzorové množiny). Jedná se o Levi-Civitův symbol:

Determinant je číslo; je definovaný pouze na čtvercových maticích a je zapisován buď jako det A nebo |A|. Toto číslo je definované takto:

A jdeme počítat determinanty. Začneme s determinantem u matice druhého řádu (2 × 2). Vypočítáme si determinant této matice:

Po dosazení do vzorce zjistíme, že determinant vypočítáme takto: vynásobíme prvky na hlavní diagonále a odečteme od tohoto výsledku součin prvků na vedlejší diagonále. Zapsáno matematicky: a₁₁ · a₂₂ − a₁₂ · a₂₁. Po dosazení: 4 · 3 − 2 · 1 = 10. Determinant této matice je roven deseti. Je to triviální.

Tento determinant už je trochu složitější. Nepoužívají-li se úpravy, které budou popsány dále, používá se obvykle Sarrusovo pravidlo. Tak jdeme počítat, třeba tuhlenctu matici:

Nyní budeme postupovat podobně jako u matice druhého řádu, ale pro přehlednosti si tuto matici rozšíříme ještě o další dva řádky — pod tuto matici opíšeme první dva řádky matice:

Teď budeme postupovat tak, že sečteme násobky prvků na hlavních diagonálách a odečteme od nich součet násobků vedlejších diagonálách. Přehledně to ukazuje obrázek na wikipedii. Takže po dosazení do vzorce získáváme: [5 · 7 · 7 + 1 · (−2) · 2 + 0 · 3 · (−8)] − [2 · 7 · 0 + (−8) · (−2) · 5 + 7 · 3 · 1]. Je to trochu zdlouhavé. Po výpočtu nám vychází: 140.

Sarrusovo pravidlo je poměrně jednoduché, ale velice zdlouhavé a při výpočtu můžete snadno udělat chybu. Naštěstí existují efektivnější způsoby, jak počítat determinant. K tomu už ale musíme znát některé vlastnosti determinantů.

• Vynásobíme-li řádek matice A číslem c ≠ 0, vychází nám nový determinant jako c · |A|. Totéž platí pro sloupce. Aby to bylo jasné — pokud ve výpočtu determinantu vynásobíme řádek matice trojkou, musíme výsledný determinant ještě vydělit třema.
• Vynásobením i-tého řádku a přičtením k j-tému řádku se determinant matice nezmění. Opět totéž pro sloupce.
• Je-li alespoň jeden řádek matice nulový, determinant matice bude nula.
• Z předchozího bodu vyplývá, že regulární matice bude mít vždy determinant různý od nuly a singulární matice bude mít vždy determinant rovný nule.
• Determinant matice ve schodovitém tvaru je rovný součinu prvků na hlavní diagonále.
• Prohodíme-li dva řádky matice, změní se znaménko determinantu.
• det A^T = det A
• det (A · B) = det A · det B
• det A⁻¹ = 1/det A

Z předchozích vlastností vyplývá poměrně jednoduchý postup, jak determinant vypočítat. Stačí upravit matici do schodovitého tvaru a poté vynásobit prvky na hlavní diagonále. Jdeme na to:

Standardními maticovými úpravy nyní upravíme matici na schodovitý tvar:

Teď uděláme součin prvků na diagonále: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Laplace byl jeden hodný pán, který nám vymyslel další algoritmus, jak počítat determinanty matice. K pochopení této kuchařky budeme muset znát pojem minor. V matici A vznikne minor prvku a_ij tak, že vememe původní matici A a vypustíme i-tý řádek a j-tý sloupec. Vzniká nám tak matice s o jedna nižším řádem, než měla původní matice A. Příklad:

Minor prvku a₁₂ je:

Teď ještě otravná definice Laplaceovy věty:

M je právě minor. V praxi to vypadá tak, že máte matici a chcete znát determinant. Vemete tedy jeden sloupec matice (nebo řádek) a ke každému prvku v tomto sloupci určíte minor a přiřadíte znaménko ((−1)^i+j) a sečtete determinanty těchto submatic, přičemž každý deteminant vynásobíte prvkem, jehož minorem ta matice je. Je zřejmé, že si moc nepomůžete, když v tom sloupci budou samá čísla, jako v tomto případě (rozvineme determinant podle první sloupce):

Není to o moc jednodušší, než to bylo. Proto se Laplaceova metoda používá v případech, kdy máme v jednom řádku/sloupci více nul, protože ta nula automaticky vynuluje celý determinant.